Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37291 / 38231
↖ ↑ ↗
← S 28.724313°
E 24.845581°		 ← 535.68 m → S 28.724313°
E 24.851074°		 →
↑
535.67 m
↓
↑
535.67 m
↓
S 28.729131°
E 24.845581°		 ← 535.66 m →
286 944 m²		 S 28.729131°
E 24.851074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569023132324219 y=0.583366394042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569023132324219 × 216)
    floor (0.569023132324219 × 65536)
    floor (37291.5)     		tx = 37291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583366394042969 × 216)
    floor (0.583366394042969 × 65536)
    floor (38231.5)     		ty = 38231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37291 / 38231 ti = "16/37291/38231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37291/38231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37291 ÷ 216
    37291 ÷ 65536     		x = 0.569015502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38231 ÷ 216
    38231 ÷ 65536     		y = 0.583358764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569015502929688 × 2 - 1) × π
    0.138031005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43363719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583358764648438 × 2 - 1) × π
    -0.166717529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.523758565248734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43363719} λ = 0.43363719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.523758565248734))-π/2
    2×atan(0.592290197782933)-π/2
    2×0.534731241245157-π/2
    1.06946248249031-1.57079632675     		φ = -0.50133384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43363719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.845581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50133384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.724313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37291 KachelY 38231 0.43363719 -0.50133384 24.845581 -28.724313
    Oben rechts KachelX + 1 37292 KachelY 38231 0.43373307 -0.50133384 24.851074 -28.724313
    Unten links KachelX 37291 KachelY + 1 38232 0.43363719 -0.50141792 24.845581 -28.729131
    Unten rechts KachelX + 1 37292 KachelY + 1 38232 0.43373307 -0.50141792 24.851074 -28.729131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50133384--0.50141792) × R
    8.40799999999309e-05 × 6371000     		dl = 535.67367999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50133384--0.50141792) × R
    8.40799999999309e-05 × 6371000     		dr = 535.67367999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43363719-0.43373307) × cos(-0.50133384) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.876942304453339 × 6371000     		do = 535.681504549891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43363719-0.43373307) × cos(-0.50141792) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.876901892869998 × 6371000     		du = 535.656819074399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50133384)-sin(-0.50141792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876942304453339-0.876901892869998)×R²
    abs(0.43373307-0.43363719)×4.04115833401164e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.04115833401164e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.04115833401164e-05×40589641000000     		ar = 286943.871339146m²