Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37291 / 26602
↖ ↑ ↗
← N 32.054645°
E 24.845581°		 ← 517.72 m → N 32.054645°
E 24.851074°		 →
↑
517.71 m
↓
↑
517.71 m
↓
N 32.049989°
E 24.845581°		 ← 517.75 m →
268 036 m²		 N 32.049989°
E 24.851074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569023132324219 y=0.405921936035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569023132324219 × 216)
    floor (0.569023132324219 × 65536)
    floor (37291.5)     		tx = 37291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405921936035156 × 216)
    floor (0.405921936035156 × 65536)
    floor (26602.5)     		ty = 26602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37291 / 26602 ti = "16/37291/26602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37291/26602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37291 ÷ 216
    37291 ÷ 65536     		x = 0.569015502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26602 ÷ 216
    26602 ÷ 65536     		y = 0.405914306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569015502929688 × 2 - 1) × π
    0.138031005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43363719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405914306640625 × 2 - 1) × π
    0.18817138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.591157846114532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43363719} λ = 0.43363719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.591157846114532))-π/2
    2×atan(1.80607836606243)-π/2
    2×1.06512770859379-π/2
    2.13025541718758-1.57079632675     		φ = 0.55945909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43363719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.845581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55945909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.054645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37291 KachelY 26602 0.43363719 0.55945909 24.845581 32.054645
    Oben rechts KachelX + 1 37292 KachelY 26602 0.43373307 0.55945909 24.851074 32.054645
    Unten links KachelX 37291 KachelY + 1 26603 0.43363719 0.55937783 24.845581 32.049989
    Unten rechts KachelX + 1 37292 KachelY + 1 26603 0.43373307 0.55937783 24.851074 32.049989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55945909-0.55937783) × R
    8.12600000000829e-05 × 6371000     		dl = 517.707460000528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55945909-0.55937783) × R
    8.12600000000829e-05 × 6371000     		dr = 517.707460000528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43363719-0.43373307) × cos(0.55945909) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.847542310979238 × 6371000     		do = 517.722475024248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43363719-0.43373307) × cos(0.55937783) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.847585435124536 × 6371000     		du = 517.748817472227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55945909)-sin(0.55937783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847542310979238-0.847585435124536)×R²
    abs(0.43373307-0.43363719)×4.31241452977238e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.31241452977238e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.31241452977238e-05×40589641000000     		ar = 268035.606518467m²