Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37290 / 38934
↖ ↑ ↗
← S 32.054645°
E 24.840088°		 ← 517.67 m → S 32.054645°
E 24.845581°		 →
↑
517.71 m
↓
↑
517.71 m
↓
S 32.059301°
E 24.840088°		 ← 517.64 m →
267 994 m²		 S 32.059301°
E 24.845581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569007873535156 y=0.594093322753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569007873535156 × 216)
    floor (0.569007873535156 × 65536)
    floor (37290.5)     		tx = 37290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594093322753906 × 216)
    floor (0.594093322753906 × 65536)
    floor (38934.5)     		ty = 38934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37290 / 38934 ti = "16/37290/38934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37290/38934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37290 ÷ 216
    37290 ÷ 65536     		x = 0.569000244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38934 ÷ 216
    38934 ÷ 65536     		y = 0.594085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569000244140625 × 2 - 1) × π
    0.13800048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43354132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594085693359375 × 2 - 1) × π
    -0.18817138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.591157846114532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43354132} λ = 0.43354132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.591157846114532))-π/2
    2×atan(0.553685830466026)-π/2
    2×0.505668618201106-π/2
    1.01133723640221-1.57079632675     		φ = -0.55945909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43354132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.840088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55945909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.054645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37290 KachelY 38934 0.43354132 -0.55945909 24.840088 -32.054645
    Oben rechts KachelX + 1 37291 KachelY 38934 0.43363719 -0.55945909 24.845581 -32.054645
    Unten links KachelX 37290 KachelY + 1 38935 0.43354132 -0.55954035 24.840088 -32.059301
    Unten rechts KachelX + 1 37291 KachelY + 1 38935 0.43363719 -0.55954035 24.845581 -32.059301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55945909--0.55954035) × R
    8.12599999999719e-05 × 6371000     		dl = 517.707459999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55945909--0.55954035) × R
    8.12599999999719e-05 × 6371000     		dr = 517.707459999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43354132-0.43363719) × cos(-0.55945909) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.847542310979238 × 6371000     		do = 517.668478103644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43354132-0.43363719) × cos(-0.55954035) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.84749918123746 × 6371000     		du = 517.642134984843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55945909)-sin(-0.55954035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847542310979238-0.84749918123746)×R²
    abs(0.43363719-0.43354132)×4.31297417784471e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.31297417784471e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.31297417784471e-05×40589641000000     		ar = 267994.014053773m²