Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3729 / 3954
↖ ↑ ↗
← N 79.460541°
W139.031982°		 ← 223.45 m → N 79.460541°
W139.020996°		 →
↑
223.43 m
↓
↑
223.43 m
↓
N 79.458532°
W139.031982°		 ← 223.50 m →
49 931 m²		 N 79.458532°
W139.020996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113815307617188 y=0.120681762695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113815307617188 × 215)
    floor (0.113815307617188 × 32768)
    floor (3729.5)     		tx = 3729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120681762695312 × 215)
    floor (0.120681762695312 × 32768)
    floor (3954.5)     		ty = 3954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3729 / 3954 ti = "15/3729/3954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3729/3954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3729 ÷ 215
    3729 ÷ 32768     		x = 0.113800048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3954 ÷ 215
    3954 ÷ 32768     		y = 0.12066650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.113800048828125 × 2 - 1) × π
    -0.77239990234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.42656586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12066650390625 × 2 - 1) × π
    0.7586669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38342264910919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42656586} λ = -2.42656586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38342264910919))-π/2
    2×atan(10.8419476145212)-π/2
    2×1.47882220025172-π/2
    2.95764440050345-1.57079632675     		φ = 1.38684807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42656586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.031982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38684807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.460541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3729 KachelY 3954 -2.42656586 1.38684807 -139.031982 79.460541
    Oben rechts KachelX + 1 3730 KachelY 3954 -2.42637411 1.38684807 -139.020996 79.460541
    Unten links KachelX 3729 KachelY + 1 3955 -2.42656586 1.38681300 -139.031982 79.458532
    Unten rechts KachelX + 1 3730 KachelY + 1 3955 -2.42637411 1.38681300 -139.020996 79.458532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38684807-1.38681300) × R
    3.50700000000259e-05 × 6371000     		dl = 223.430970000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38684807-1.38681300) × R
    3.50700000000259e-05 × 6371000     		dr = 223.430970000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42656586--2.42637411) × cos(1.38684807) × R
    0.000191750000000379 × 0.182912635458496 × 6371000     		do = 223.453254797483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42656586--2.42637411) × cos(1.38681300) × R
    0.000191750000000379 × 0.18294711368605 × 6371000     		du = 223.495374753533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38684807)-sin(1.38681300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182912635458496-0.18294711368605)×R²
    abs(-2.42637411--2.42656586)×3.44782275537303e-05×R²
    0.000191750000000379×3.44782275537303e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.44782275537303e-05×40589641000000     		ar = 49931.0829253908m²