Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3729 / 3704
S 80.983688°
E147.744140°
← 1 531.59 m → S 80.983688°
E147.832032°

1 530.44 m

1 530.44 m
S 80.997452°
E147.744140°
← 1 529.27 m →
2 342 235 m²
S 80.997452°
E147.832032°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9105224609375 y=0.9044189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9105224609375 × 212)
    floor (0.9105224609375 × 4096)
    floor (3729.5)
    tx = 3729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9044189453125 × 212)
    floor (0.9044189453125 × 4096)
    floor (3704.5)
    ty = 3704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3729 / 3704 ti = "12/3729/3704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3729/3704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3729 ÷ 212
    3729 ÷ 4096
    x = 0.910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3704 ÷ 212
    3704 ÷ 4096
    y = 0.904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.910400390625 × 2 - 1) × π
    0.82080078125 × 3.1415926535
    Λ = 2.57862170
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.904296875 × 2 - 1) × π
    -0.80859375 × 3.1415926535
    Φ = -2.54027218466602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57862170} λ = 2.57862170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54027218466602))-π/2
    2×atan(0.0788449364871116)-π/2
    2×0.0786821627091556-π/2
    0.157364325418311-1.57079632675
    φ = -1.41343200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57862170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.744140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41343200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.983688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3729 KachelY 3704 2.57862170 -1.41343200 147.744140 -80.983688
    Oben rechts KachelX + 1 3730 KachelY 3704 2.58015569 -1.41343200 147.832032 -80.983688
    Unten links KachelX 3729 KachelY + 1 3705 2.57862170 -1.41367222 147.744140 -80.997452
    Unten rechts KachelX + 1 3730 KachelY + 1 3705 2.58015569 -1.41367222 147.832032 -80.997452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.41343200--1.41367222) × R
    0.000240220000000013 × 6371000
    dl = 1530.44162000008m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.41343200--1.41367222) × R
    0.000240220000000013 × 6371000
    dr = 1530.44162000008m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(2.57862170-2.58015569) × cos(-1.41343200) × R
    0.00153398999999999 × 0.156715647755291 × 6371000
    do = 1531.58990674237m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(2.57862170-2.58015569) × cos(-1.41367222) × R
    0.00153398999999999 × 0.156478391450753 × 6371000
    du = 1529.2711889465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.41343200)-sin(-1.41367222))×
    abs(λ12)×abs(0.156715647755291-0.156478391450753)×
    abs(2.58015569-2.57862170)×0.000237256304538885×
    0.00153398999999999×0.000237256304538885×6371000²
    0.00153398999999999×0.000237256304538885×40589641000000
    ar = 2342234.61820866m²