Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3729 / 1430
↖ ↑ ↗
← N 81.446675°
W 98.063965°		 ← 363.38 m → N 81.446675°
W 98.041992°		 →
↑
363.47 m
↓
↑
363.47 m
↓
N 81.443407°
W 98.063965°		 ← 363.52 m →
132 101 m²		 N 81.443407°
W 98.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227630615234375 y=0.087310791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227630615234375 × 214)
    floor (0.227630615234375 × 16384)
    floor (3729.5)     		tx = 3729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.087310791015625 × 214)
    floor (0.087310791015625 × 16384)
    floor (1430.5)     		ty = 1430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3729 / 1430 ti = "14/3729/1430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3729/1430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3729 ÷ 214
    3729 ÷ 16384     		x = 0.22760009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1430 ÷ 214
    1430 ÷ 16384     		y = 0.0872802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.5447998046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71153906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0872802734375 × 2 - 1) × π
    0.825439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.59319452184656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71153906} λ = -1.71153906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59319452184656))-π/2
    2×atan(13.3724219372333)-π/2
    2×1.49615448706066-π/2
    2.99230897412132-1.57079632675     		φ = 1.42151265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71153906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.063965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42151265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.446675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3729 KachelY 1430 -1.71153906 1.42151265 -98.063965 81.446675
    Oben rechts KachelX + 1 3730 KachelY 1430 -1.71115557 1.42151265 -98.041992 81.446675
    Unten links KachelX 3729 KachelY + 1 1431 -1.71153906 1.42145560 -98.063965 81.443407
    Unten rechts KachelX + 1 3730 KachelY + 1 1431 -1.71115557 1.42145560 -98.041992 81.443407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42151265-1.42145560) × R
    5.70499999998919e-05 × 6371000     		dl = 363.465549999311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42151265-1.42145560) × R
    5.70499999998919e-05 × 6371000     		dr = 363.465549999311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71153906--1.71115557) × cos(1.42151265) × R
    0.000383489999999931 × 0.148729814526745 × 6371000     		do = 363.378882565634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71153906--1.71115557) × cos(1.42145560) × R
    0.000383489999999931 × 0.148786229767176 × 6371000     		du = 363.516717115437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42151265)-sin(1.42145560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148729814526745-0.148786229767176)×R²
    abs(-1.71115557--1.71153906)×5.64152404314289e-05×R²
    0.000383489999999931×5.64152404314289e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.64152404314289e-05×40589641000000     		ar = 132100.754500264m²