Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37289 / 38933
↖ ↑ ↗
← S 32.049989°
E 24.834595°		 ← 517.69 m → S 32.049989°
E 24.840088°		 →
↑
517.71 m
↓
↑
517.71 m
↓
S 32.054645°
E 24.834595°		 ← 517.67 m →
268 008 m²		 S 32.054645°
E 24.840088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568992614746094 y=0.594078063964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568992614746094 × 216)
    floor (0.568992614746094 × 65536)
    floor (37289.5)     		tx = 37289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594078063964844 × 216)
    floor (0.594078063964844 × 65536)
    floor (38933.5)     		ty = 38933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37289 / 38933 ti = "16/37289/38933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37289/38933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37289 ÷ 216
    37289 ÷ 65536     		x = 0.568984985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38933 ÷ 216
    38933 ÷ 65536     		y = 0.594070434570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568984985351562 × 2 - 1) × π
    0.137969970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43344545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594070434570312 × 2 - 1) × π
    -0.188140869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.591061972315292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43344545} λ = 0.43344545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.591061972315292))-π/2
    2×atan(0.55373891697494)-π/2
    2×0.505709247785404-π/2
    1.01141849557081-1.57079632675     		φ = -0.55937783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43344545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.834595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55937783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.049989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37289 KachelY 38933 0.43344545 -0.55937783 24.834595 -32.049989
    Oben rechts KachelX + 1 37290 KachelY 38933 0.43354132 -0.55937783 24.840088 -32.049989
    Unten links KachelX 37289 KachelY + 1 38934 0.43344545 -0.55945909 24.834595 -32.054645
    Unten rechts KachelX + 1 37290 KachelY + 1 38934 0.43354132 -0.55945909 24.840088 -32.054645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55937783--0.55945909) × R
    8.12600000000829e-05 × 6371000     		dl = 517.707460000528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55937783--0.55945909) × R
    8.12600000000829e-05 × 6371000     		dr = 517.707460000528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43344545-0.43354132) × cos(-0.55937783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.847585435124536 × 6371000     		do = 517.694817804184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43344545-0.43354132) × cos(-0.55945909) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.847542310979238 × 6371000     		du = 517.668478103644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55937783)-sin(-0.55945909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847585435124536-0.847542310979238)×R²
    abs(0.43354132-0.43344545)×4.31241452977238e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.31241452977238e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.31241452977238e-05×40589641000000     		ar = 268007.651198653m²