Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37289 / 27305
↖ ↑ ↗
← N 28.724313°
E 24.834595°		 ← 535.63 m → N 28.724313°
E 24.840088°		 →
↑
535.61 m
↓
↑
535.61 m
↓
N 28.719496°
E 24.834595°		 ← 535.65 m →
286 893 m²		 N 28.719496°
E 24.840088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568992614746094 y=0.416648864746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568992614746094 × 216)
    floor (0.568992614746094 × 65536)
    floor (37289.5)     		tx = 37289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416648864746094 × 216)
    floor (0.416648864746094 × 65536)
    floor (27305.5)     		ty = 27305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37289 / 27305 ti = "16/37289/27305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37289/27305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37289 ÷ 216
    37289 ÷ 65536     		x = 0.568984985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27305 ÷ 216
    27305 ÷ 65536     		y = 0.416641235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568984985351562 × 2 - 1) × π
    0.137969970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43344545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416641235351562 × 2 - 1) × π
    0.166717529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.523758565248734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43344545} λ = 0.43344545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.523758565248734))-π/2
    2×atan(1.68836155611423)-π/2
    2×1.03606508554974-π/2
    2.07213017109948-1.57079632675     		φ = 0.50133384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43344545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.834595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50133384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.724313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37289 KachelY 27305 0.43344545 0.50133384 24.834595 28.724313
    Oben rechts KachelX + 1 37290 KachelY 27305 0.43354132 0.50133384 24.840088 28.724313
    Unten links KachelX 37289 KachelY + 1 27306 0.43344545 0.50124977 24.834595 28.719496
    Unten rechts KachelX + 1 37290 KachelY + 1 27306 0.43354132 0.50124977 24.840088 28.719496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50133384-0.50124977) × R
    8.40699999999917e-05 × 6371000     		dl = 535.609969999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50133384-0.50124977) × R
    8.40699999999917e-05 × 6371000     		dr = 535.609969999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43344545-0.43354132) × cos(0.50133384) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876942304453339 × 6371000     		do = 535.625634555704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43344545-0.43354132) × cos(0.50124977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876982705031963 × 6371000     		du = 535.650310735029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50133384)-sin(0.50124977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876942304453339-0.876982705031963)×R²
    abs(0.43354132-0.43344545)×4.04005786242001e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.04005786242001e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.04005786242001e-05×40589641000000     		ar = 286893.038628471m²