Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37288 / 38234
↖ ↑ ↗
← S 28.738764°
E 24.829101°		 ← 535.61 m → S 28.738764°
E 24.834595°		 →
↑
535.61 m
↓
↑
535.61 m
↓
S 28.743581°
E 24.829101°		 ← 535.58 m →
286 870 m²		 S 28.743581°
E 24.834595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568977355957031 y=0.583412170410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568977355957031 × 216)
    floor (0.568977355957031 × 65536)
    floor (37288.5)     		tx = 37288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583412170410156 × 216)
    floor (0.583412170410156 × 65536)
    floor (38234.5)     		ty = 38234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37288 / 38234 ti = "16/37288/38234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37288/38234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37288 ÷ 216
    37288 ÷ 65536     		x = 0.5689697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38234 ÷ 216
    38234 ÷ 65536     		y = 0.583404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5689697265625 × 2 - 1) × π
    0.137939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43334957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583404541015625 × 2 - 1) × π
    -0.16680908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.524046186646454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43334957} λ = 0.43334957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.524046186646454))-π/2
    2×atan(0.592119866944962)-π/2
    2×0.534605136277049-π/2
    1.0692102725541-1.57079632675     		φ = -0.50158605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43334957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.829101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50158605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.738764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37288 KachelY 38234 0.43334957 -0.50158605 24.829101 -28.738764
    Oben rechts KachelX + 1 37289 KachelY 38234 0.43344545 -0.50158605 24.834595 -28.738764
    Unten links KachelX 37288 KachelY + 1 38235 0.43334957 -0.50167012 24.829101 -28.743581
    Unten rechts KachelX + 1 37289 KachelY + 1 38235 0.43344545 -0.50167012 24.834595 -28.743581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50158605--0.50167012) × R
    8.40699999999917e-05 × 6371000     		dl = 535.609969999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50158605--0.50167012) × R
    8.40699999999917e-05 × 6371000     		dr = 535.609969999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43334957-0.43344545) × cos(-0.50158605) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.876821065530476 × 6371000     		do = 535.607445574427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43334957-0.43344545) × cos(-0.50167012) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.876780640161478 × 6371000     		du = 535.582751677945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50158605)-sin(-0.50167012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876821065530476-0.876780640161478)×R²
    abs(0.43344545-0.43334957)×4.042536899862e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.042536899862e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.042536899862e-05×40589641000000     		ar = 286870.074876142m²