Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37287 / 38233
↖ ↑ ↗
← S 28.733947°
E 24.823608°		 ← 535.58 m → S 28.733947°
E 24.829101°		 →
↑
535.55 m
↓
↑
535.55 m
↓
S 28.738764°
E 24.823608°		 ← 535.55 m →
286 819 m²		 S 28.738764°
E 24.829101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568962097167969 y=0.583396911621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568962097167969 × 216)
    floor (0.568962097167969 × 65536)
    floor (37287.5)     		tx = 37287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583396911621094 × 216)
    floor (0.583396911621094 × 65536)
    floor (38233.5)     		ty = 38233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37287 / 38233 ti = "16/37287/38233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37287/38233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37287 ÷ 216
    37287 ÷ 65536     		x = 0.568954467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38233 ÷ 216
    38233 ÷ 65536     		y = 0.583389282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568954467773438 × 2 - 1) × π
    0.137908935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43325370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583389282226562 × 2 - 1) × π
    -0.166778564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.523950312847214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43325370} λ = 0.43325370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.523950312847214))-π/2
    2×atan(0.592176638447618)-π/2
    2×0.534647169329111-π/2
    1.06929433865822-1.57079632675     		φ = -0.50150199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43325370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.823608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50150199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.733947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37287 KachelY 38233 0.43325370 -0.50150199 24.823608 -28.733947
    Oben rechts KachelX + 1 37288 KachelY 38233 0.43334957 -0.50150199 24.829101 -28.733947
    Unten links KachelX 37287 KachelY + 1 38234 0.43325370 -0.50158605 24.823608 -28.738764
    Unten rechts KachelX + 1 37288 KachelY + 1 38234 0.43334957 -0.50158605 24.829101 -28.738764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50150199--0.50158605) × R
    8.40600000000524e-05 × 6371000     		dl = 535.546260000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50150199--0.50158605) × R
    8.40600000000524e-05 × 6371000     		dr = 535.546260000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43325370-0.43334957) × cos(-0.50150199) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876861479894879 × 6371000     		do = 535.576267903881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43325370-0.43334957) × cos(-0.50158605) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876821065530476 × 6371000     		du = 535.551583304372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50150199)-sin(-0.50158605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876861479894879-0.876821065530476)×R²
    abs(0.43334957-0.43325370)×4.04143644022747e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.04143644022747e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.04143644022747e-05×40589641000000     		ar = 286819.257517258m²