Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37287 / 26920
↖ ↑ ↗
← N 30.562261°
E 24.823608°		 ← 525.94 m → N 30.562261°
E 24.829101°		 →
↑
525.99 m
↓
↑
525.99 m
↓
N 30.557531°
E 24.823608°		 ← 525.96 m →
276 643 m²		 N 30.557531°
E 24.829101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568962097167969 y=0.410774230957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568962097167969 × 216)
    floor (0.568962097167969 × 65536)
    floor (37287.5)     		tx = 37287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410774230957031 × 216)
    floor (0.410774230957031 × 65536)
    floor (26920.5)     		ty = 26920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37287 / 26920 ti = "16/37287/26920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37287/26920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37287 ÷ 216
    37287 ÷ 65536     		x = 0.568954467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26920 ÷ 216
    26920 ÷ 65536     		y = 0.4107666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568954467773438 × 2 - 1) × π
    0.137908935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43325370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4107666015625 × 2 - 1) × π
    0.178466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.560669977956177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43325370} λ = 0.43325370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.560669977956177))-π/2
    2×atan(1.75184580528013)-π/2
    2×1.0521042036105-π/2
    2.104208407221-1.57079632675     		φ = 0.53341208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43325370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.823608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53341208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.562261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37287 KachelY 26920 0.43325370 0.53341208 24.823608 30.562261
    Oben rechts KachelX + 1 37288 KachelY 26920 0.43334957 0.53341208 24.829101 30.562261
    Unten links KachelX 37287 KachelY + 1 26921 0.43325370 0.53332952 24.823608 30.557531
    Unten rechts KachelX + 1 37288 KachelY + 1 26921 0.43334957 0.53332952 24.829101 30.557531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53341208-0.53332952) × R
    8.25599999999538e-05 × 6371000     		dl = 525.989759999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53341208-0.53332952) × R
    8.25599999999538e-05 × 6371000     		dr = 525.989759999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43325370-0.43334957) × cos(0.53341208) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.861077131138744 × 6371000     		do = 525.93538072622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43325370-0.43334957) × cos(0.53332952) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.861119107847197 × 6371000     		du = 525.961019586367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53341208)-sin(0.53332952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861077131138744-0.861119107847197)×R²
    abs(0.43334957-0.43325370)×4.1976708452518e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.1976708452518e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.1976708452518e-05×40589641000000     		ar = 276643.367729779m²