Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37286 / 28140
↖ ↑ ↗
← N 24.627045°
E 24.818115°		 ← 555.29 m → N 24.627045°
E 24.823608°		 →
↑
555.30 m
↓
↑
555.30 m
↓
N 24.622051°
E 24.818115°		 ← 555.31 m →
308 356 m²		 N 24.622051°
E 24.823608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568946838378906 y=0.429389953613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568946838378906 × 216)
    floor (0.568946838378906 × 65536)
    floor (37286.5)     		tx = 37286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429389953613281 × 216)
    floor (0.429389953613281 × 65536)
    floor (28140.5)     		ty = 28140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37286 / 28140 ti = "16/37286/28140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37286/28140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37286 ÷ 216
    37286 ÷ 65536     		x = 0.568939208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28140 ÷ 216
    28140 ÷ 65536     		y = 0.42938232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568939208984375 × 2 - 1) × π
    0.13787841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43315782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42938232421875 × 2 - 1) × π
    0.1412353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.44370394288324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43315782} λ = 0.43315782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.44370394288324))-π/2
    2×atan(1.55846902147036)-π/2
    2×1.00030967131988-π/2
    2.00061934263976-1.57079632675     		φ = 0.42982302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43315782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.818115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42982302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.627045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37286 KachelY 28140 0.43315782 0.42982302 24.818115 24.627045
    Oben rechts KachelX + 1 37287 KachelY 28140 0.43325370 0.42982302 24.823608 24.627045
    Unten links KachelX 37286 KachelY + 1 28141 0.43315782 0.42973586 24.818115 24.622051
    Unten rechts KachelX + 1 37287 KachelY + 1 28141 0.43325370 0.42973586 24.823608 24.622051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42982302-0.42973586) × R
    8.7159999999975e-05 × 6371000     		dl = 555.296359999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42982302-0.42973586) × R
    8.7159999999975e-05 × 6371000     		dr = 555.296359999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43315782-0.43325370) × cos(0.42982302) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.909039513233837 × 6371000     		do = 555.288132037326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43315782-0.43325370) × cos(0.42973586) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.909075830218116 × 6371000     		du = 555.310316320922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42982302)-sin(0.42973586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909039513233837-0.909075830218116)×R²
    abs(0.43325370-0.43315782)×3.63169842783062e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.63169842783062e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.63169842783062e-05×40589641000000     		ar = 308355.638092667m²