Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37285 / 27291
↖ ↑ ↗
← N 28.791733°
E 24.812622°		 ← 535.28 m → N 28.791733°
E 24.818115°		 →
↑
535.36 m
↓
↑
535.36 m
↓
N 28.786918°
E 24.812622°		 ← 535.30 m →
286 571 m²		 N 28.786918°
E 24.818115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568931579589844 y=0.416435241699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568931579589844 × 216)
    floor (0.568931579589844 × 65536)
    floor (37285.5)     		tx = 37285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416435241699219 × 216)
    floor (0.416435241699219 × 65536)
    floor (27291.5)     		ty = 27291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37285 / 27291 ti = "16/37285/27291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37285/27291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37285 ÷ 216
    37285 ÷ 65536     		x = 0.568923950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27291 ÷ 216
    27291 ÷ 65536     		y = 0.416427612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568923950195312 × 2 - 1) × π
    0.137847900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43306195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416427612304688 × 2 - 1) × π
    0.167144775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.525100798438095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43306195} λ = 0.43306195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.525100798438095))-π/2
    2×atan(1.69062925257877)-π/2
    2×1.03665342616434-π/2
    2.07330685232869-1.57079632675     		φ = 0.50251053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43306195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.812622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50251053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.791733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37285 KachelY 27291 0.43306195 0.50251053 24.812622 28.791733
    Oben rechts KachelX + 1 37286 KachelY 27291 0.43315782 0.50251053 24.818115 28.791733
    Unten links KachelX 37285 KachelY + 1 27292 0.43306195 0.50242650 24.812622 28.786918
    Unten rechts KachelX + 1 37286 KachelY + 1 27292 0.43315782 0.50242650 24.818115 28.786918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50251053-0.50242650) × R
    8.40300000000127e-05 × 6371000     		dl = 535.355130000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50251053-0.50242650) × R
    8.40300000000127e-05 × 6371000     		dr = 535.355130000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43306195-0.43315782) × cos(0.50251053) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.876376185362219 × 6371000     		do = 535.279855938795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43306195-0.43315782) × cos(0.50242650) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.876416653403638 × 6371000     		du = 535.304573323569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50251053)-sin(0.50242650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876376185362219-0.876416653403638)×R²
    abs(0.43315782-0.43306195)×4.04680414192171e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.04680414192171e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.04680414192171e-05×40589641000000     		ar = 286571.433320463m²