Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37285 / 26918
↖ ↑ ↗
← N 30.571720°
E 24.812622°		 ← 525.88 m → N 30.571720°
E 24.818115°		 →
↑
525.93 m
↓
↑
525.93 m
↓
N 30.566991°
E 24.812622°		 ← 525.91 m →
276 583 m²		 N 30.566991°
E 24.818115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568931579589844 y=0.410743713378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568931579589844 × 216)
    floor (0.568931579589844 × 65536)
    floor (37285.5)     		tx = 37285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410743713378906 × 216)
    floor (0.410743713378906 × 65536)
    floor (26918.5)     		ty = 26918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37285 / 26918 ti = "16/37285/26918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37285/26918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37285 ÷ 216
    37285 ÷ 65536     		x = 0.568923950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26918 ÷ 216
    26918 ÷ 65536     		y = 0.410736083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568923950195312 × 2 - 1) × π
    0.137847900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43306195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410736083984375 × 2 - 1) × π
    0.17852783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.560861725554657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43306195} λ = 0.43306195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.560861725554657))-π/2
    2×atan(1.75218174971344)-π/2
    2×1.05218675432175-π/2
    2.10437350864349-1.57079632675     		φ = 0.53357718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43306195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.812622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53357718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.571720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37285 KachelY 26918 0.43306195 0.53357718 24.812622 30.571720
    Oben rechts KachelX + 1 37286 KachelY 26918 0.43315782 0.53357718 24.818115 30.571720
    Unten links KachelX 37285 KachelY + 1 26919 0.43306195 0.53349463 24.812622 30.566991
    Unten rechts KachelX + 1 37286 KachelY + 1 26919 0.43315782 0.53349463 24.818115 30.566991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53357718-0.53349463) × R
    8.25500000000146e-05 × 6371000     		dl = 525.926050000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53357718-0.53349463) × R
    8.25500000000146e-05 × 6371000     		dr = 525.926050000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43306195-0.43315782) × cos(0.53357718) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.860993170286754 × 6371000     		do = 525.88409846497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43306195-0.43315782) × cos(0.53349463) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.861035153646512 × 6371000     		du = 525.909741387654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53357718)-sin(0.53349463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860993170286754-0.861035153646512)×R²
    abs(0.43315782-0.43306195)×4.19833597582464e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.19833597582464e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.19833597582464e-05×40589641000000     		ar = 276582.8899609m²