Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37283 / 38245
↖ ↑ ↗
← S 28.791733°
E 24.801636°		 ← 535.34 m → S 28.791733°
E 24.807129°		 →
↑
535.29 m
↓
↑
535.29 m
↓
S 28.796547°
E 24.801636°		 ← 535.31 m →
286 554 m²		 S 28.796547°
E 24.807129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568901062011719 y=0.583580017089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568901062011719 × 216)
    floor (0.568901062011719 × 65536)
    floor (37283.5)     		tx = 37283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583580017089844 × 216)
    floor (0.583580017089844 × 65536)
    floor (38245.5)     		ty = 38245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37283 / 38245 ti = "16/37283/38245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37283/38245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37283 ÷ 216
    37283 ÷ 65536     		x = 0.568893432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38245 ÷ 216
    38245 ÷ 65536     		y = 0.583572387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568893432617188 × 2 - 1) × π
    0.137786865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43287020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583572387695312 × 2 - 1) × π
    -0.167144775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.525100798438095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43287020} λ = 0.43287020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.525100798438095))-π/2
    2×atan(0.591495739515137)-π/2
    2×0.534142900630553-π/2
    1.06828580126111-1.57079632675     		φ = -0.50251053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43287020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.801636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50251053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.791733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37283 KachelY 38245 0.43287020 -0.50251053 24.801636 -28.791733
    Oben rechts KachelX + 1 37284 KachelY 38245 0.43296608 -0.50251053 24.807129 -28.791733
    Unten links KachelX 37283 KachelY + 1 38246 0.43287020 -0.50259455 24.801636 -28.796547
    Unten rechts KachelX + 1 37284 KachelY + 1 38246 0.43296608 -0.50259455 24.807129 -28.796547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50251053--0.50259455) × R
    8.40199999999625e-05 × 6371000     		dl = 535.291419999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50251053--0.50259455) × R
    8.40199999999625e-05 × 6371000     		dr = 535.291419999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43287020-0.43296608) × cos(-0.50251053) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.876376185362219 × 6371000     		do = 535.335689865225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43287020-0.43296608) × cos(-0.50259455) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.87633571594968 × 6371000     		du = 535.310969064681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50251053)-sin(-0.50259455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876376185362219-0.87633571594968)×R²
    abs(0.43296608-0.43287020)×4.04694125386573e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.04694125386573e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.04694125386573e-05×40589641000000     		ar = 286553.985356823m²