Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37283 / 27293
↖ ↑ ↗
← N 28.782103°
E 24.801636°		 ← 535.39 m → N 28.782103°
E 24.807129°		 →
↑
535.36 m
↓
↑
535.36 m
↓
N 28.777289°
E 24.801636°		 ← 535.41 m →
286 628 m²		 N 28.777289°
E 24.807129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568901062011719 y=0.416465759277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568901062011719 × 216)
    floor (0.568901062011719 × 65536)
    floor (37283.5)     		tx = 37283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416465759277344 × 216)
    floor (0.416465759277344 × 65536)
    floor (27293.5)     		ty = 27293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37283 / 27293 ti = "16/37283/27293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37283/27293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37283 ÷ 216
    37283 ÷ 65536     		x = 0.568893432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27293 ÷ 216
    27293 ÷ 65536     		y = 0.416458129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568893432617188 × 2 - 1) × π
    0.137786865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43287020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416458129882812 × 2 - 1) × π
    0.167083740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.524909050839615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43287020} λ = 0.43287020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524909050839615))-π/2
    2×atan(1.69030510955748)-π/2
    2×1.03656940077023-π/2
    2.07313880154046-1.57079632675     		φ = 0.50234247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43287020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.801636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50234247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.782103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37283 KachelY 27293 0.43287020 0.50234247 24.801636 28.782103
    Oben rechts KachelX + 1 37284 KachelY 27293 0.43296608 0.50234247 24.807129 28.782103
    Unten links KachelX 37283 KachelY + 1 27294 0.43287020 0.50225844 24.801636 28.777289
    Unten rechts KachelX + 1 37284 KachelY + 1 27294 0.43296608 0.50225844 24.807129 28.777289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50234247-0.50225844) × R
    8.40300000000127e-05 × 6371000     		dl = 535.355130000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50234247-0.50225844) × R
    8.40300000000127e-05 × 6371000     		dr = 535.355130000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43287020-0.43296608) × cos(0.50234247) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.876457115256644 × 6371000     		do = 535.38512601101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43287020-0.43296608) × cos(0.50225844) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.876497570920949 × 6371000     		du = 535.409838413426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50234247)-sin(0.50225844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876457115256644-0.876497570920949)×R²
    abs(0.43296608-0.43287020)×4.04556643057719e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.04556643057719e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.04556643057719e-05×40589641000000     		ar = 286627.788859965m²