Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37282 / 38226
↖ ↑ ↗
← S 28.700225°
E 24.796143°		 ← 535.75 m → S 28.700225°
E 24.801636°		 →
↑
535.74 m
↓
↑
535.74 m
↓
S 28.705043°
E 24.796143°		 ← 535.72 m →
287 014 m²		 S 28.705043°
E 24.801636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568885803222656 y=0.583290100097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568885803222656 × 216)
    floor (0.568885803222656 × 65536)
    floor (37282.5)     		tx = 37282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583290100097656 × 216)
    floor (0.583290100097656 × 65536)
    floor (38226.5)     		ty = 38226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37282 / 38226 ti = "16/37282/38226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37282/38226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37282 ÷ 216
    37282 ÷ 65536     		x = 0.568878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38226 ÷ 216
    38226 ÷ 65536     		y = 0.583282470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568878173828125 × 2 - 1) × π
    0.13775634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43277433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583282470703125 × 2 - 1) × π
    -0.16656494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.523279196252533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43277433} λ = 0.43277433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.523279196252533))-π/2
    2×atan(0.592574191403934)-π/2
    2×0.53494145492844-π/2
    1.06988290985688-1.57079632675     		φ = -0.50091342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43277433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.796143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50091342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.700225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37282 KachelY 38226 0.43277433 -0.50091342 24.796143 -28.700225
    Oben rechts KachelX + 1 37283 KachelY 38226 0.43287020 -0.50091342 24.801636 -28.700225
    Unten links KachelX 37282 KachelY + 1 38227 0.43277433 -0.50099751 24.796143 -28.705043
    Unten rechts KachelX + 1 37283 KachelY + 1 38227 0.43287020 -0.50099751 24.801636 -28.705043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50091342--0.50099751) × R
    8.40899999999811e-05 × 6371000     		dl = 535.73738999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50091342--0.50099751) × R
    8.40899999999811e-05 × 6371000     		dr = 535.73738999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43277433-0.43287020) × cos(-0.50091342) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.877144278976417 × 6371000     		do = 535.748998124252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43277433-0.43287020) × cos(-0.50099751) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.877103893591884 × 6371000     		du = 535.724331225292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50091342)-sin(-0.50099751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877144278976417-0.877103893591884)×R²
    abs(0.43287020-0.43277433)×4.03853845329927e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03853845329927e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03853845329927e-05×40589641000000     		ar = 287014.162629236m²