Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37282 / 38220
↖ ↑ ↗
← S 28.671311°
E 24.796143°		 ← 535.90 m → S 28.671311°
E 24.801636°		 →
↑
535.86 m
↓
↑
535.86 m
↓
S 28.676130°
E 24.796143°		 ← 535.87 m →
287 162 m²		 S 28.676130°
E 24.801636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568885803222656 y=0.583198547363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568885803222656 × 216)
    floor (0.568885803222656 × 65536)
    floor (37282.5)     		tx = 37282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583198547363281 × 216)
    floor (0.583198547363281 × 65536)
    floor (38220.5)     		ty = 38220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37282 / 38220 ti = "16/37282/38220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37282/38220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37282 ÷ 216
    37282 ÷ 65536     		x = 0.568878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38220 ÷ 216
    38220 ÷ 65536     		y = 0.58319091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568878173828125 × 2 - 1) × π
    0.13775634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43277433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58319091796875 × 2 - 1) × π
    -0.1663818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.522703953457092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43277433} λ = 0.43277433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.522703953457092))-π/2
    2×atan(0.592915163499771)-π/2
    2×0.535193775231447-π/2
    1.07038755046289-1.57079632675     		φ = -0.50040878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43277433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.796143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50040878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.671311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37282 KachelY 38220 0.43277433 -0.50040878 24.796143 -28.671311
    Oben rechts KachelX + 1 37283 KachelY 38220 0.43287020 -0.50040878 24.801636 -28.671311
    Unten links KachelX 37282 KachelY + 1 38221 0.43277433 -0.50049289 24.796143 -28.676130
    Unten rechts KachelX + 1 37283 KachelY + 1 38221 0.43287020 -0.50049289 24.801636 -28.676130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50040878--0.50049289) × R
    8.41099999999706e-05 × 6371000     		dl = 535.864809999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50040878--0.50049289) × R
    8.41099999999706e-05 × 6371000     		dr = 535.864809999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43277433-0.43287020) × cos(-0.50040878) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.877386509001661 × 6371000     		do = 535.896949261197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43277433-0.43287020) × cos(-0.50049289) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.877346151246024 × 6371000     		du = 535.87229923763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50040878)-sin(-0.50049289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877386509001661-0.877346151246024)×R²
    abs(0.43287020-0.43277433)×4.03577556363777e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03577556363777e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03577556363777e-05×40589641000000     		ar = 287161.712524496m²