Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37282 / 29606
↖ ↑ ↗
← N 69.742846°
W 77.601929°		 ← 105.75 m → N 69.742846°
W 77.599182°		 →
↑
105.69 m
↓
↑
105.69 m
↓
N 69.741895°
W 77.601929°		 ← 105.75 m →
11 177 m²		 N 69.741895°
W 77.599182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.284442901611328 y=0.225879669189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.284442901611328 × 217)
    floor (0.284442901611328 × 131072)
    floor (37282.5)     		tx = 37282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225879669189453 × 217)
    floor (0.225879669189453 × 131072)
    floor (29606.5)     		ty = 29606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37282 / 29606 ti = "17/37282/29606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37282/29606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37282 ÷ 217
    37282 ÷ 131072     		x = 0.284439086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29606 ÷ 217
    29606 ÷ 131072     		y = 0.225875854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.284439086914062 × 2 - 1) × π
    -0.431121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.35440916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225875854492188 × 2 - 1) × π
    0.548248291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.72237280334862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.35440916} λ = -1.35440916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72237280334862))-π/2
    2×atan(5.59779518555235)-π/2
    2×1.39401931077392-π/2
    2.78803862154784-1.57079632675     		φ = 1.21724229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.35440916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.601929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21724229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.742846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37282 KachelY 29606 -1.35440916 1.21724229 -77.601929 69.742846
    Oben rechts KachelX + 1 37283 KachelY 29606 -1.35436122 1.21724229 -77.599182 69.742846
    Unten links KachelX 37282 KachelY + 1 29607 -1.35440916 1.21722570 -77.601929 69.741895
    Unten rechts KachelX + 1 37283 KachelY + 1 29607 -1.35436122 1.21722570 -77.599182 69.741895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21724229-1.21722570) × R
    1.6589999999983e-05 × 6371000     		dl = 105.694889999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21724229-1.21722570) × R
    1.6589999999983e-05 × 6371000     		dr = 105.694889999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.35440916--1.35436122) × cos(1.21724229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34623420001344 × 6371000     		do = 105.748836752344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.35440916--1.35436122) × cos(1.21722570) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346249763842959 × 6371000     		du = 105.753590346492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21724229)-sin(1.21722570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34623420001344-0.346249763842959)×R²
    abs(-1.35436122--1.35440916)×1.55638295191163e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55638295191163e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55638295191163e-05×40589641000000     		ar = 11177.3628836723m²