Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37282 / 27805
↖ ↑ ↗
← N 26.288490°
E 24.796143°		 ← 547.62 m → N 26.288490°
E 24.801636°		 →
↑
547.65 m
↓
↑
547.65 m
↓
N 26.283565°
E 24.796143°		 ← 547.64 m →
299 910 m²		 N 26.283565°
E 24.801636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568885803222656 y=0.424278259277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568885803222656 × 216)
    floor (0.568885803222656 × 65536)
    floor (37282.5)     		tx = 37282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424278259277344 × 216)
    floor (0.424278259277344 × 65536)
    floor (27805.5)     		ty = 27805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37282 / 27805 ti = "16/37282/27805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37282/27805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37282 ÷ 216
    37282 ÷ 65536     		x = 0.568878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27805 ÷ 216
    27805 ÷ 65536     		y = 0.424270629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568878173828125 × 2 - 1) × π
    0.13775634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43277433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424270629882812 × 2 - 1) × π
    0.151458740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.475821665628677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43277433} λ = 0.43277433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475821665628677))-π/2
    2×atan(1.60933599044384)-π/2
    2×1.01480851696686-π/2
    2.02961703393372-1.57079632675     		φ = 0.45882071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43277433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.796143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45882071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.288490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37282 KachelY 27805 0.43277433 0.45882071 24.796143 26.288490
    Oben rechts KachelX + 1 37283 KachelY 27805 0.43287020 0.45882071 24.801636 26.288490
    Unten links KachelX 37282 KachelY + 1 27806 0.43277433 0.45873475 24.796143 26.283565
    Unten rechts KachelX + 1 37283 KachelY + 1 27806 0.43287020 0.45873475 24.801636 26.283565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45882071-0.45873475) × R
    8.5959999999996e-05 × 6371000     		dl = 547.651159999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45882071-0.45873475) × R
    8.5959999999996e-05 × 6371000     		dr = 547.651159999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43277433-0.43287020) × cos(0.45882071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896575417886048 × 6371000     		do = 547.617300127425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43277433-0.43287020) × cos(0.45873475) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896613485491882 × 6371000     		du = 547.640551355502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45882071)-sin(0.45873475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896575417886048-0.896613485491882)×R²
    abs(0.43287020-0.43277433)×3.80676058340246e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.80676058340246e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.80676058340246e-05×40589641000000     		ar = 299909.616616607m²