Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37281 / 27308
↖ ↑ ↗
← N 28.709861°
E 24.790650°		 ← 535.70 m → N 28.709861°
E 24.796143°		 →
↑
535.74 m
↓
↑
535.74 m
↓
N 28.705043°
E 24.790650°		 ← 535.72 m →
287 001 m²		 N 28.705043°
E 24.796143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568870544433594 y=0.416694641113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568870544433594 × 216)
    floor (0.568870544433594 × 65536)
    floor (37281.5)     		tx = 37281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416694641113281 × 216)
    floor (0.416694641113281 × 65536)
    floor (27308.5)     		ty = 27308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37281 / 27308 ti = "16/37281/27308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37281/27308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37281 ÷ 216
    37281 ÷ 65536     		x = 0.568862915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27308 ÷ 216
    27308 ÷ 65536     		y = 0.41668701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568862915039062 × 2 - 1) × π
    0.137725830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43267846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41668701171875 × 2 - 1) × π
    0.1666259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.523470943851013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43267846} λ = 0.43267846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.523470943851013))-π/2
    2×atan(1.68787601703267)-π/2
    2×1.03593896314899-π/2
    2.07187792629797-1.57079632675     		φ = 0.50108160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43267846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.790650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50108160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.709861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37281 KachelY 27308 0.43267846 0.50108160 24.790650 28.709861
    Oben rechts KachelX + 1 37282 KachelY 27308 0.43277433 0.50108160 24.796143 28.709861
    Unten links KachelX 37281 KachelY + 1 27309 0.43267846 0.50099751 24.790650 28.705043
    Unten rechts KachelX + 1 37282 KachelY + 1 27309 0.43277433 0.50099751 24.796143 28.705043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50108160-0.50099751) × R
    8.40899999999811e-05 × 6371000     		dl = 535.73738999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50108160-0.50099751) × R
    8.40899999999811e-05 × 6371000     		dr = 535.73738999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43267846-0.43277433) × cos(0.50108160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.877063502005237 × 6371000     		do = 535.699660538157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43267846-0.43277433) × cos(0.50099751) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.877103893591884 × 6371000     		du = 535.724331225292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50108160)-sin(0.50099751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877063502005237-0.877103893591884)×R²
    abs(0.43277433-0.43267846)×4.03915866470372e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03915866470372e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03915866470372e-05×40589641000000     		ar = 287000.946634381m²