Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37280 / 27808
↖ ↑ ↗
← N 26.273714°
E 24.785156°		 ← 547.74 m → N 26.273714°
E 24.790650°		 →
↑
547.71 m
↓
↑
547.71 m
↓
N 26.268789°
E 24.785156°		 ← 547.77 m →
300 014 m²		 N 26.268789°
E 24.790650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568855285644531 y=0.424324035644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568855285644531 × 216)
    floor (0.568855285644531 × 65536)
    floor (37280.5)     		tx = 37280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424324035644531 × 216)
    floor (0.424324035644531 × 65536)
    floor (27808.5)     		ty = 27808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37280 / 27808 ti = "16/37280/27808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37280/27808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37280 ÷ 216
    37280 ÷ 65536     		x = 0.56884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27808 ÷ 216
    27808 ÷ 65536     		y = 0.42431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56884765625 × 2 - 1) × π
    0.1376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43258258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42431640625 × 2 - 1) × π
    0.1513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.475534044230957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43258258} λ = 0.43258258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475534044230957))-π/2
    2×atan(1.6088731775375)-π/2
    2×1.01467957161801-π/2
    2.02935914323601-1.57079632675     		φ = 0.45856282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43258258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.785156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45856282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.273714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37280 KachelY 27808 0.43258258 0.45856282 24.785156 26.273714
    Oben rechts KachelX + 1 37281 KachelY 27808 0.43267846 0.45856282 24.790650 26.273714
    Unten links KachelX 37280 KachelY + 1 27809 0.43258258 0.45847685 24.785156 26.268789
    Unten rechts KachelX + 1 37281 KachelY + 1 27809 0.43267846 0.45847685 24.790650 26.268789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45856282-0.45847685) × R
    8.59699999999908e-05 × 6371000     		dl = 547.714869999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45856282-0.45847685) × R
    8.59699999999908e-05 × 6371000     		dr = 547.714869999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43258258-0.43267846) × cos(0.45856282) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.896689605254309 × 6371000     		do = 547.744172470169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43258258-0.43267846) × cos(0.45847685) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.896727657408798 × 6371000     		du = 547.767416685055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45856282)-sin(0.45847685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896689605254309-0.896727657408798)×R²
    abs(0.43267846-0.43258258)×3.80521544890433e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.80521544890433e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.80521544890433e-05×40589641000000     		ar = 300013.994003502m²