Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37280 / 26975
↖ ↑ ↗
← N 30.301761°
E 24.785156°		 ← 527.40 m → N 30.301761°
E 24.790650°		 →
↑
527.33 m
↓
↑
527.33 m
↓
N 30.297018°
E 24.785156°		 ← 527.42 m →
278 118 m²		 N 30.297018°
E 24.790650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568855285644531 y=0.411613464355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568855285644531 × 216)
    floor (0.568855285644531 × 65536)
    floor (37280.5)     		tx = 37280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411613464355469 × 216)
    floor (0.411613464355469 × 65536)
    floor (26975.5)     		ty = 26975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37280 / 26975 ti = "16/37280/26975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37280/26975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37280 ÷ 216
    37280 ÷ 65536     		x = 0.56884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26975 ÷ 216
    26975 ÷ 65536     		y = 0.411605834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56884765625 × 2 - 1) × π
    0.1376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43258258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411605834960938 × 2 - 1) × π
    0.176788330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.555396918997971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43258258} λ = 0.43258258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.555396918997971))-π/2
    2×atan(1.74263253147921)-π/2
    2×1.04983090995443-π/2
    2.09966181990886-1.57079632675     		φ = 0.52886549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43258258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.785156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52886549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.301761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37280 KachelY 26975 0.43258258 0.52886549 24.785156 30.301761
    Oben rechts KachelX + 1 37281 KachelY 26975 0.43267846 0.52886549 24.790650 30.301761
    Unten links KachelX 37280 KachelY + 1 26976 0.43258258 0.52878272 24.785156 30.297018
    Unten rechts KachelX + 1 37281 KachelY + 1 26976 0.43267846 0.52878272 24.790650 30.297018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52886549-0.52878272) × R
    8.27700000000098e-05 × 6371000     		dl = 527.327670000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52886549-0.52878272) × R
    8.27700000000098e-05 × 6371000     		dr = 527.327670000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43258258-0.43267846) × cos(0.52886549) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.863380047757645 × 6371000     		do = 527.396979975187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43258258-0.43267846) × cos(0.52878272) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.863421806747373 × 6371000     		du = 527.422488515866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52886549)-sin(0.52878272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863380047757645-0.863421806747373)×R²
    abs(0.43267846-0.43258258)×4.17589897282467e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.17589897282467e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.17589897282467e-05×40589641000000     		ar = 278117.746453824m²