Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3728 / 2223
↖ ↑ ↗
← N 63.253411°
W 16.171875°		 ← 2 199.14 m → N 63.253411°
W 16.127929°		 →
↑
2 199.84 m
↓
↑
2 199.84 m
↓
N 63.233628°
W 16.171875°		 ← 2 200.65 m →
4 839 426 m²		 N 63.233628°
W 16.127929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45513916015625 y=0.27142333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45513916015625 × 213)
    floor (0.45513916015625 × 8192)
    floor (3728.5)     		tx = 3728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27142333984375 × 213)
    floor (0.27142333984375 × 8192)
    floor (2223.5)     		ty = 2223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3728 / 2223 ti = "13/3728/2223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3728/2223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3728 ÷ 213
    3728 ÷ 8192     		x = 0.455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2223 ÷ 213
    2223 ÷ 8192     		y = 0.2713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455078125 × 2 - 1) × π
    -0.08984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28225246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2713623046875 × 2 - 1) × π
    0.457275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.43657300781384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28225246} λ = -0.28225246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43657300781384))-π/2
    2×atan(4.20625628163081)-π/2
    2×1.3373883108656-π/2
    2.6747766217312-1.57079632675     		φ = 1.10398029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28225246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10398029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.253411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3728 KachelY 2223 -0.28225246 1.10398029 -16.171875 63.253411
    Oben rechts KachelX + 1 3729 KachelY 2223 -0.28148547 1.10398029 -16.127929 63.253411
    Unten links KachelX 3728 KachelY + 1 2224 -0.28225246 1.10363500 -16.171875 63.233628
    Unten rechts KachelX + 1 3729 KachelY + 1 2224 -0.28148547 1.10363500 -16.127929 63.233628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10398029-1.10363500) × R
    0.000345290000000054 × 6371000     		dl = 2199.84259000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10398029-1.10363500) × R
    0.000345290000000054 × 6371000     		dr = 2199.84259000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28225246--0.28148547) × cos(1.10398029) × R
    0.000766989999999967 × 0.450045273957952 × 6371000     		do = 2199.14321139165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28225246--0.28148547) × cos(1.10363500) × R
    0.000766989999999967 × 0.450353593075369 × 6371000     		du = 2200.64981069009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10398029)-sin(1.10363500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450045273957952-0.450353593075369)×R²
    abs(-0.28148547--0.28225246)×0.00030831911741741×R²
    0.000766989999999967×0.00030831911741741×6371000²
    0.000766989999999967×0.00030831911741741×40589641000000     		ar = 4839426.0866613m²