Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37278 / 26967
↖ ↑ ↗
← N 30.339695°
E 24.774170°		 ← 527.19 m → N 30.339695°
E 24.779663°		 →
↑
527.20 m
↓
↑
527.20 m
↓
N 30.334954°
E 24.774170°		 ← 527.22 m →
277 943 m²		 N 30.334954°
E 24.779663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568824768066406 y=0.411491394042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568824768066406 × 216)
    floor (0.568824768066406 × 65536)
    floor (37278.5)     		tx = 37278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411491394042969 × 216)
    floor (0.411491394042969 × 65536)
    floor (26967.5)     		ty = 26967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37278 / 26967 ti = "16/37278/26967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37278/26967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37278 ÷ 216
    37278 ÷ 65536     		x = 0.568817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26967 ÷ 216
    26967 ÷ 65536     		y = 0.411483764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568817138671875 × 2 - 1) × π
    0.13763427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43239083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411483764648438 × 2 - 1) × π
    0.177032470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.556163909391892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43239083} λ = 0.43239083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.556163909391892))-π/2
    2×atan(1.74396962659499)-π/2
    2×1.05016194797307-π/2
    2.10032389594614-1.57079632675     		φ = 0.52952757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43239083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.774170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52952757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.339695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37278 KachelY 26967 0.43239083 0.52952757 24.774170 30.339695
    Oben rechts KachelX + 1 37279 KachelY 26967 0.43248671 0.52952757 24.779663 30.339695
    Unten links KachelX 37278 KachelY + 1 26968 0.43239083 0.52944482 24.774170 30.334954
    Unten rechts KachelX + 1 37279 KachelY + 1 26968 0.43248671 0.52944482 24.779663 30.334954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52952757-0.52944482) × R
    8.27499999999093e-05 × 6371000     		dl = 527.200249999422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52952757-0.52944482) × R
    8.27499999999093e-05 × 6371000     		dr = 527.200249999422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43239083-0.43248671) × cos(0.52952757) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.863045803337264 × 6371000     		do = 527.192806276316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43239083-0.43248671) × cos(0.52944482) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.863087599531434 × 6371000     		du = 527.218337543383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52952757)-sin(0.52944482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863045803337264-0.863087599531434)×R²
    abs(0.43248671-0.43239083)×4.17961941704403e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.17961941704403e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.17961941704403e-05×40589641000000     		ar = 277942.909470634m²