Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37276 / 38253
↖ ↑ ↗
← S 28.830238°
E 24.763184°		 ← 535.08 m → S 28.830238°
E 24.768677°		 →
↑
535.10 m
↓
↑
535.10 m
↓
S 28.835050°
E 24.763184°		 ← 535.06 m →
286 316 m²		 S 28.835050°
E 24.768677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568794250488281 y=0.583702087402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568794250488281 × 216)
    floor (0.568794250488281 × 65536)
    floor (37276.5)     		tx = 37276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583702087402344 × 216)
    floor (0.583702087402344 × 65536)
    floor (38253.5)     		ty = 38253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37276 / 38253 ti = "16/37276/38253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37276/38253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37276 ÷ 216
    37276 ÷ 65536     		x = 0.56878662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38253 ÷ 216
    38253 ÷ 65536     		y = 0.583694458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56878662109375 × 2 - 1) × π
    0.1375732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43219909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583694458007812 × 2 - 1) × π
    -0.167388916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.525867788832016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43219909} λ = 0.43219909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.525867788832016))-π/2
    2×atan(0.591042241901272)-π/2
    2×0.53380687666524-π/2
    1.06761375333048-1.57079632675     		φ = -0.50318257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43219909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.763184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50318257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.830238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37276 KachelY 38253 0.43219909 -0.50318257 24.763184 -28.830238
    Oben rechts KachelX + 1 37277 KachelY 38253 0.43229496 -0.50318257 24.768677 -28.830238
    Unten links KachelX 37276 KachelY + 1 38254 0.43219909 -0.50326656 24.763184 -28.835050
    Unten rechts KachelX + 1 37277 KachelY + 1 38254 0.43229496 -0.50326656 24.768677 -28.835050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50318257--0.50326656) × R
    8.39900000000338e-05 × 6371000     		dl = 535.100290000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50318257--0.50326656) × R
    8.39900000000338e-05 × 6371000     		dr = 535.100290000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43219909-0.43229496) × cos(-0.50318257) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876052314725499 × 6371000     		do = 535.082039714514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43219909-0.43229496) × cos(-0.50326656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876011810307529 × 6371000     		du = 535.057300111387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50318257)-sin(-0.50326656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876052314725499-0.876011810307529)×R²
    abs(0.43229496-0.43219909)×4.05044179704328e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.05044179704328e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.05044179704328e-05×40589641000000     		ar = 286315.935708966m²