Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37276 / 38236
↖ ↑ ↗
← S 28.748396°
E 24.763184°		 ← 535.50 m → S 28.748396°
E 24.768677°		 →
↑
535.55 m
↓
↑
535.55 m
↓
S 28.753213°
E 24.763184°		 ← 535.48 m →
286 780 m²		 S 28.753213°
E 24.768677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568794250488281 y=0.583442687988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568794250488281 × 216)
    floor (0.568794250488281 × 65536)
    floor (37276.5)     		tx = 37276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583442687988281 × 216)
    floor (0.583442687988281 × 65536)
    floor (38236.5)     		ty = 38236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37276 / 38236 ti = "16/37276/38236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37276/38236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37276 ÷ 216
    37276 ÷ 65536     		x = 0.56878662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38236 ÷ 216
    38236 ÷ 65536     		y = 0.58343505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56878662109375 × 2 - 1) × π
    0.1375732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43219909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58343505859375 × 2 - 1) × π
    -0.1668701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.524237934244934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43219909} λ = 0.43219909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.524237934244934))-π/2
    2×atan(0.592006340267044)-π/2
    2×0.534521075985882-π/2
    1.06904215197176-1.57079632675     		φ = -0.50175417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43219909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.763184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50175417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.748396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37276 KachelY 38236 0.43219909 -0.50175417 24.763184 -28.748396
    Oben rechts KachelX + 1 37277 KachelY 38236 0.43229496 -0.50175417 24.768677 -28.748396
    Unten links KachelX 37276 KachelY + 1 38237 0.43219909 -0.50183823 24.763184 -28.753213
    Unten rechts KachelX + 1 37277 KachelY + 1 38237 0.43229496 -0.50183823 24.768677 -28.753213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50175417--0.50183823) × R
    8.40600000000524e-05 × 6371000     		dl = 535.546260000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50175417--0.50183823) × R
    8.40600000000524e-05 × 6371000     		dr = 535.546260000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43219909-0.43229496) × cos(-0.50175417) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876740218214884 × 6371000     		do = 535.502202752771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43219909-0.43229496) × cos(-0.50183823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876699785264266 × 6371000     		du = 535.477506801028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50175417)-sin(-0.50183823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876740218214884-0.876699785264266)×R²
    abs(0.43229496-0.43219909)×4.04329506182854e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.04329506182854e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.04329506182854e-05×40589641000000     		ar = 286779.589162747m²