Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37276 / 28141
↖ ↑ ↗
← N 24.622051°
E 24.763184°		 ← 555.25 m → N 24.622051°
E 24.768677°		 →
↑
555.30 m
↓
↑
555.30 m
↓
N 24.617057°
E 24.763184°		 ← 555.27 m →
308 336 m²		 N 24.617057°
E 24.768677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568794250488281 y=0.429405212402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568794250488281 × 216)
    floor (0.568794250488281 × 65536)
    floor (37276.5)     		tx = 37276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429405212402344 × 216)
    floor (0.429405212402344 × 65536)
    floor (28141.5)     		ty = 28141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37276 / 28141 ti = "16/37276/28141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37276/28141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37276 ÷ 216
    37276 ÷ 65536     		x = 0.56878662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28141 ÷ 216
    28141 ÷ 65536     		y = 0.429397583007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56878662109375 × 2 - 1) × π
    0.1375732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43219909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429397583007812 × 2 - 1) × π
    0.141204833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.443608069084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43219909} λ = 0.43219909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.443608069084))-π/2
    2×atan(1.5583196122866)-π/2
    2×1.00026609391347-π/2
    2.00053218782694-1.57079632675     		φ = 0.42973586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43219909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.763184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42973586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.622051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37276 KachelY 28141 0.43219909 0.42973586 24.763184 24.622051
    Oben rechts KachelX + 1 37277 KachelY 28141 0.43229496 0.42973586 24.768677 24.622051
    Unten links KachelX 37276 KachelY + 1 28142 0.43219909 0.42964870 24.763184 24.617057
    Unten rechts KachelX + 1 37277 KachelY + 1 28142 0.43229496 0.42964870 24.768677 24.617057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42973586-0.42964870) × R
    8.71600000000305e-05 × 6371000     		dl = 555.296360000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42973586-0.42964870) × R
    8.71600000000305e-05 × 6371000     		dr = 555.296360000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43219909-0.43229496) × cos(0.42973586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.909075830218116 × 6371000     		do = 555.252399099809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43219909-0.43229496) × cos(0.42964870) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.909112140296267 × 6371000     		du = 555.274576851472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42973586)-sin(0.42964870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909075830218116-0.909112140296267)×R²
    abs(0.43229496-0.43219909)×3.63100781514136e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.63100781514136e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.63100781514136e-05×40589641000000     		ar = 308335.793909063m²