Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37275 / 38265
↖ ↑ ↗
← S 28.887969°
E 24.757690°		 ← 534.84 m → S 28.887969°
E 24.763184°		 →
↑
534.78 m
↓
↑
534.78 m
↓
S 28.892779°
E 24.757690°		 ← 534.82 m →
286 016 m²		 S 28.892779°
E 24.763184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568778991699219 y=0.583885192871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568778991699219 × 216)
    floor (0.568778991699219 × 65536)
    floor (37275.5)     		tx = 37275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583885192871094 × 216)
    floor (0.583885192871094 × 65536)
    floor (38265.5)     		ty = 38265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37275 / 38265 ti = "16/37275/38265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37275/38265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37275 ÷ 216
    37275 ÷ 65536     		x = 0.568771362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38265 ÷ 216
    38265 ÷ 65536     		y = 0.583877563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568771362304688 × 2 - 1) × π
    0.137542724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43210321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583877563476562 × 2 - 1) × π
    -0.167755126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.527018274422897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43210321} λ = 0.43210321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.527018274422897))-π/2
    2×atan(0.590362647325206)-π/2
    2×0.533303073732495-π/2
    1.06660614746499-1.57079632675     		φ = -0.50419018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43210321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.757690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50419018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.887969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37275 KachelY 38265 0.43210321 -0.50419018 24.757690 -28.887969
    Oben rechts KachelX + 1 37276 KachelY 38265 0.43219909 -0.50419018 24.763184 -28.887969
    Unten links KachelX 37275 KachelY + 1 38266 0.43210321 -0.50427412 24.757690 -28.892779
    Unten rechts KachelX + 1 37276 KachelY + 1 38266 0.43219909 -0.50427412 24.763184 -28.892779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50419018--0.50427412) × R
    8.39400000000046e-05 × 6371000     		dl = 534.781740000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50419018--0.50427412) × R
    8.39400000000046e-05 × 6371000     		dr = 534.781740000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43210321-0.43219909) × cos(-0.50419018) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.875565984351316 × 6371000     		do = 534.840777378617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43210321-0.43219909) × cos(-0.50427412) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.875525429974662 × 6371000     		du = 534.816004677618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50419018)-sin(-0.50427412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875565984351316-0.875525429974662)×R²
    abs(0.43219909-0.43210321)×4.05543766541783e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.05543766541783e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.05543766541783e-05×40589641000000     		ar = 286016.457723384m²