Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37275 / 28043
↖ ↑ ↗
← N 71.178009°
W 77.621155°		 ← 98.54 m → N 71.178009°
W 77.618408°		 →
↑
98.50 m
↓
↑
98.50 m
↓
N 71.177123°
W 77.621155°		 ← 98.54 m →
9 706 m²		 N 71.177123°
W 77.618408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.284389495849609 y=0.213954925537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.284389495849609 × 217)
    floor (0.284389495849609 × 131072)
    floor (37275.5)     		tx = 37275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213954925537109 × 217)
    floor (0.213954925537109 × 131072)
    floor (28043.5)     		ty = 28043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37275 / 28043 ti = "17/37275/28043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37275/28043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37275 ÷ 217
    37275 ÷ 131072     		x = 0.284385681152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28043 ÷ 217
    28043 ÷ 131072     		y = 0.213951110839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.284385681152344 × 2 - 1) × π
    -0.431228637695312 × 3.1415926535     		Λ = -1.35474472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213951110839844 × 2 - 1) × π
    0.572097778320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.79729817745477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.35474472} λ = -1.35474472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79729817745477))-π/2
    2×atan(6.03332445137481)-π/2
    2×1.40654346900931-π/2
    2.81308693801863-1.57079632675     		φ = 1.24229061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.35474472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.621155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24229061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.178009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37275 KachelY 28043 -1.35474472 1.24229061 -77.621155 71.178009
    Oben rechts KachelX + 1 37276 KachelY 28043 -1.35469678 1.24229061 -77.618408 71.178009
    Unten links KachelX 37275 KachelY + 1 28044 -1.35474472 1.24227515 -77.621155 71.177123
    Unten rechts KachelX + 1 37276 KachelY + 1 28044 -1.35469678 1.24227515 -77.618408 71.177123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24229061-1.24227515) × R
    1.54599999999672e-05 × 6371000     		dl = 98.4956599997908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24229061-1.24227515) × R
    1.54599999999672e-05 × 6371000     		dr = 98.4956599997908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.35474472--1.35469678) × cos(1.24229061) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322629011960801 × 6371000     		do = 98.539204723532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.35474472--1.35469678) × cos(1.24227515) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322643645206462 × 6371000     		du = 98.5436740934166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24229061)-sin(1.24227515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322629011960801-0.322643645206462)×R²
    abs(-1.35469678--1.35474472)×1.46332456610332e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46332456610332e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46332456610332e-05×40589641000000     		ar = 9705.90411192798m²