Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37273 / 38239
↖ ↑ ↗
← S 28.762844°
E 24.746704°		 ← 535.43 m → S 28.762844°
E 24.752197°		 →
↑
535.42 m
↓
↑
535.42 m
↓
S 28.767659°
E 24.746704°		 ← 535.40 m →
286 672 m²		 S 28.767659°
E 24.752197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568748474121094 y=0.583488464355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568748474121094 × 216)
    floor (0.568748474121094 × 65536)
    floor (37273.5)     		tx = 37273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583488464355469 × 216)
    floor (0.583488464355469 × 65536)
    floor (38239.5)     		ty = 38239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37273 / 38239 ti = "16/37273/38239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37273/38239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37273 ÷ 216
    37273 ÷ 65536     		x = 0.568740844726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38239 ÷ 216
    38239 ÷ 65536     		y = 0.583480834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568740844726562 × 2 - 1) × π
    0.137481689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43191147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583480834960938 × 2 - 1) × π
    -0.166961669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.524525555642654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43191147} λ = 0.43191147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.524525555642654))-π/2
    2×atan(0.591836091060828)-π/2
    2×0.534395000084646-π/2
    1.06879000016929-1.57079632675     		φ = -0.50200633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43191147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.746704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50200633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.762844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37273 KachelY 38239 0.43191147 -0.50200633 24.746704 -28.762844
    Oben rechts KachelX + 1 37274 KachelY 38239 0.43200734 -0.50200633 24.752197 -28.762844
    Unten links KachelX 37273 KachelY + 1 38240 0.43191147 -0.50209037 24.746704 -28.767659
    Unten rechts KachelX + 1 37274 KachelY + 1 38240 0.43200734 -0.50209037 24.752197 -28.767659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50200633--0.50209037) × R
    8.4040000000063e-05 × 6371000     		dl = 535.418840000401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50200633--0.50209037) × R
    8.4040000000063e-05 × 6371000     		dr = 535.418840000401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43191147-0.43200734) × cos(-0.50200633) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876618910402519 × 6371000     		do = 535.428109424573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43191147-0.43200734) × cos(-0.50209037) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876578468494909 × 6371000     		du = 535.403408002009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50200633)-sin(-0.50209037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876618910402519-0.876578468494909)×R²
    abs(0.43200734-0.43191147)×4.04419076098783e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.04419076098783e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.04419076098783e-05×40589641000000     		ar = 286671.68461692m²