Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37272 / 38248
↖ ↑ ↗
← S 28.806173°
E 24.741211°		 ← 535.26 m → S 28.806173°
E 24.746704°		 →
↑
535.23 m
↓
↑
535.23 m
↓
S 28.810987°
E 24.741211°		 ← 535.24 m →
286 480 m²		 S 28.810987°
E 24.746704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568733215332031 y=0.583625793457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568733215332031 × 216)
    floor (0.568733215332031 × 65536)
    floor (37272.5)     		tx = 37272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583625793457031 × 216)
    floor (0.583625793457031 × 65536)
    floor (38248.5)     		ty = 38248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37272 / 38248 ti = "16/37272/38248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37272/38248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37272 ÷ 216
    37272 ÷ 65536     		x = 0.5687255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38248 ÷ 216
    38248 ÷ 65536     		y = 0.5836181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5687255859375 × 2 - 1) × π
    0.137451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43181559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5836181640625 × 2 - 1) × π
    -0.167236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.525388419835815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43181559} λ = 0.43181559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.525388419835815))-π/2
    2×atan(0.591325637147505)-π/2
    2×0.534016877088886-π/2
    1.06803375417777-1.57079632675     		φ = -0.50276257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43181559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50276257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.806173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37272 KachelY 38248 0.43181559 -0.50276257 24.741211 -28.806173
    Oben rechts KachelX + 1 37273 KachelY 38248 0.43191147 -0.50276257 24.746704 -28.806173
    Unten links KachelX 37272 KachelY + 1 38249 0.43181559 -0.50284658 24.741211 -28.810987
    Unten rechts KachelX + 1 37273 KachelY + 1 38249 0.43191147 -0.50284658 24.746704 -28.810987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50276257--0.50284658) × R
    8.40100000000232e-05 × 6371000     		dl = 535.227710000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50276257--0.50284658) × R
    8.40100000000232e-05 × 6371000     		dr = 535.227710000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43181559-0.43191147) × cos(-0.50276257) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.876254768202742 × 6371000     		do = 535.261522013661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43181559-0.43191147) × cos(-0.50284658) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.876214285052641 × 6371000     		du = 535.236792821506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50276257)-sin(-0.50284658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876254768202742-0.876214285052641)×R²
    abs(0.43191147-0.43181559)×4.04831501008562e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.04831501008562e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.04831501008562e-05×40589641000000     		ar = 286480.180972476m²