Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37272 / 27802
↖ ↑ ↗
← N 26.303265°
E 24.741211°		 ← 547.60 m → N 26.303265°
E 24.746704°		 →
↑
547.59 m
↓
↑
547.59 m
↓
N 26.298340°
E 24.741211°		 ← 547.63 m →
299 868 m²		 N 26.298340°
E 24.746704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568733215332031 y=0.424232482910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568733215332031 × 216)
    floor (0.568733215332031 × 65536)
    floor (37272.5)     		tx = 37272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424232482910156 × 216)
    floor (0.424232482910156 × 65536)
    floor (27802.5)     		ty = 27802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37272 / 27802 ti = "16/37272/27802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37272/27802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37272 ÷ 216
    37272 ÷ 65536     		x = 0.5687255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27802 ÷ 216
    27802 ÷ 65536     		y = 0.424224853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5687255859375 × 2 - 1) × π
    0.137451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43181559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424224853515625 × 2 - 1) × π
    0.15155029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.476109287026398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43181559} λ = 0.43181559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476109287026398))-π/2
    2×atan(1.60979893648421)-π/2
    2×1.01493744589106-π/2
    2.02987489178213-1.57079632675     		φ = 0.45907857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43181559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45907857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.303265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37272 KachelY 27802 0.43181559 0.45907857 24.741211 26.303265
    Oben rechts KachelX + 1 37273 KachelY 27802 0.43191147 0.45907857 24.746704 26.303265
    Unten links KachelX 37272 KachelY + 1 27803 0.43181559 0.45899262 24.741211 26.298340
    Unten rechts KachelX + 1 37273 KachelY + 1 27803 0.43191147 0.45899262 24.746704 26.298340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45907857-0.45899262) × R
    8.59500000000013e-05 × 6371000     		dl = 547.587450000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45907857-0.45899262) × R
    8.59500000000013e-05 × 6371000     		dr = 547.587450000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43181559-0.43191147) × cos(0.45907857) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.896461184182688 × 6371000     		do = 547.604641120506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43181559-0.43191147) × cos(0.45899262) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.896499267230399 × 6371000     		du = 547.627904206563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45907857)-sin(0.45899262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896461184182688-0.896499267230399)×R²
    abs(0.43191147-0.43181559)×3.80830477109129e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.80830477109129e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.80830477109129e-05×40589641000000     		ar = 299867.798510986m²