Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37272 / 26707
↖ ↑ ↗
← N 31.564495°
E 24.741211°		 ← 520.48 m → N 31.564495°
E 24.746704°		 →
↑
520.51 m
↓
↑
520.51 m
↓
N 31.559814°
E 24.741211°		 ← 520.50 m →
270 921 m²		 N 31.559814°
E 24.746704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568733215332031 y=0.407524108886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568733215332031 × 216)
    floor (0.568733215332031 × 65536)
    floor (37272.5)     		tx = 37272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407524108886719 × 216)
    floor (0.407524108886719 × 65536)
    floor (26707.5)     		ty = 26707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37272 / 26707 ti = "16/37272/26707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37272/26707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37272 ÷ 216
    37272 ÷ 65536     		x = 0.5687255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26707 ÷ 216
    26707 ÷ 65536     		y = 0.407516479492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5687255859375 × 2 - 1) × π
    0.137451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43181559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407516479492188 × 2 - 1) × π
    0.184967041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.581091097194321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43181559} λ = 0.43181559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.581091097194321))-π/2
    2×atan(1.78798823579078)-π/2
    2×1.06085034657242-π/2
    2.12170069314483-1.57079632675     		φ = 0.55090437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43181559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55090437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.564495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37272 KachelY 26707 0.43181559 0.55090437 24.741211 31.564495
    Oben rechts KachelX + 1 37273 KachelY 26707 0.43191147 0.55090437 24.746704 31.564495
    Unten links KachelX 37272 KachelY + 1 26708 0.43181559 0.55082267 24.741211 31.559814
    Unten rechts KachelX + 1 37273 KachelY + 1 26708 0.43191147 0.55082267 24.746704 31.559814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55090437-0.55082267) × R
    8.17000000000734e-05 × 6371000     		dl = 520.510700000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55090437-0.55082267) × R
    8.17000000000734e-05 × 6371000     		dr = 520.510700000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43181559-0.43191147) × cos(0.55090437) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.852051470841187 × 6371000     		do = 520.476901999476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43181559-0.43191147) × cos(0.55082267) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.8520942345171 × 6371000     		du = 520.503024254198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55090437)-sin(0.55082267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852051470841187-0.8520942345171)×R²
    abs(0.43191147-0.43181559)×4.2763675913382e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.2763675913382e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.2763675913382e-05×40589641000000     		ar = 270920.5952013m²