Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37270 / 38262
↖ ↑ ↗
← S 28.873539°
E 24.730224°		 ← 534.92 m → S 28.873539°
E 24.735718°		 →
↑
534.85 m
↓
↑
534.85 m
↓
S 28.878349°
E 24.730224°		 ← 534.89 m →
286 090 m²		 S 28.878349°
E 24.735718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568702697753906 y=0.583839416503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568702697753906 × 216)
    floor (0.568702697753906 × 65536)
    floor (37270.5)     		tx = 37270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583839416503906 × 216)
    floor (0.583839416503906 × 65536)
    floor (38262.5)     		ty = 38262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37270 / 38262 ti = "16/37270/38262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37270/38262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37270 ÷ 216
    37270 ÷ 65536     		x = 0.568695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38262 ÷ 216
    38262 ÷ 65536     		y = 0.583831787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568695068359375 × 2 - 1) × π
    0.13739013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43162384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583831787109375 × 2 - 1) × π
    -0.16766357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.526730653025177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43162384} λ = 0.43162384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.526730653025177))-π/2
    2×atan(0.590532472676523)-π/2
    2×0.533428998235688-π/2
    1.06685799647138-1.57079632675     		φ = -0.50393833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43162384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.730224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50393833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.873539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37270 KachelY 38262 0.43162384 -0.50393833 24.730224 -28.873539
    Oben rechts KachelX + 1 37271 KachelY 38262 0.43171972 -0.50393833 24.735718 -28.873539
    Unten links KachelX 37270 KachelY + 1 38263 0.43162384 -0.50402228 24.730224 -28.878349
    Unten rechts KachelX + 1 37271 KachelY + 1 38263 0.43171972 -0.50402228 24.735718 -28.878349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50393833--0.50402228) × R
    8.39500000000548e-05 × 6371000     		dl = 534.845450000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50393833--0.50402228) × R
    8.39500000000548e-05 × 6371000     		dr = 534.845450000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43162384-0.43171972) × cos(-0.50393833) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.875687624951451 × 6371000     		do = 534.915081719237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43162384-0.43171972) × cos(-0.50402228) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.875647084255856 × 6371000     		du = 534.890317375334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50393833)-sin(-0.50402228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875687624951451-0.875647084255856)×R²
    abs(0.43171972-0.43162384)×4.05406955942267e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.05406955942267e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.05406955942267e-05×40589641000000     		ar = 286090.275213691m²