Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37270 / 27483
↖ ↑ ↗
← N 27.863360°
E 24.730224°		 ← 540.03 m → N 27.863360°
E 24.735718°		 →
↑
540.01 m
↓
↑
540.01 m
↓
N 27.858504°
E 24.730224°		 ← 540.06 m →
291 627 m²		 N 27.858504°
E 24.735718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568702697753906 y=0.419364929199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568702697753906 × 216)
    floor (0.568702697753906 × 65536)
    floor (37270.5)     		tx = 37270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419364929199219 × 216)
    floor (0.419364929199219 × 65536)
    floor (27483.5)     		ty = 27483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37270 / 27483 ti = "16/37270/27483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37270/27483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37270 ÷ 216
    37270 ÷ 65536     		x = 0.568695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27483 ÷ 216
    27483 ÷ 65536     		y = 0.419357299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568695068359375 × 2 - 1) × π
    0.13739013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43162384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419357299804688 × 2 - 1) × π
    0.161285400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.506693028983993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43162384} λ = 0.43162384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506693028983993))-π/2
    2×atan(1.65979322106164)-π/2
    2×1.02855185300632-π/2
    2.05710370601264-1.57079632675     		φ = 0.48630738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43162384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.730224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48630738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.863360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37270 KachelY 27483 0.43162384 0.48630738 24.730224 27.863360
    Oben rechts KachelX + 1 37271 KachelY 27483 0.43171972 0.48630738 24.735718 27.863360
    Unten links KachelX 37270 KachelY + 1 27484 0.43162384 0.48622262 24.730224 27.858504
    Unten rechts KachelX + 1 37271 KachelY + 1 27484 0.43171972 0.48622262 24.735718 27.858504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48630738-0.48622262) × R
    8.4760000000017e-05 × 6371000     		dl = 540.005960000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48630738-0.48622262) × R
    8.4760000000017e-05 × 6371000     		dr = 540.005960000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43162384-0.43171972) × cos(0.48630738) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.884064681735299 × 6371000     		do = 540.032219253695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43162384-0.43171972) × cos(0.48622262) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.884104292380278 × 6371000     		du = 540.056415474804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48630738)-sin(0.48622262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884064681735299-0.884104292380278)×R²
    abs(0.43171972-0.43162384)×3.96106449791489e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.96106449791489e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.96106449791489e-05×40589641000000     		ar = 291627.150215484m²