Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3727 / 3663
↖ ↑ ↗
← S 80.401063°
E147.568359°		 ← 1 629.65 m → S 80.401063°
E147.656250°		 →
↑
1 628.43 m
↓
↑
1 628.43 m
↓
S 80.415708°
E147.568359°		 ← 1 627.19 m →
2 651 762 m²		 S 80.415708°
E147.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9100341796875 y=0.8944091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9100341796875 × 212)
    floor (0.9100341796875 × 4096)
    floor (3727.5)     		tx = 3727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8944091796875 × 212)
    floor (0.8944091796875 × 4096)
    floor (3663.5)     		ty = 3663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3727 / 3663 ti = "12/3727/3663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3727/3663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3727 ÷ 212
    3727 ÷ 4096     		x = 0.909912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3663 ÷ 212
    3663 ÷ 4096     		y = 0.894287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909912109375 × 2 - 1) × π
    0.81982421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.57555374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894287109375 × 2 - 1) × π
    -0.78857421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.4773789723645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57555374} λ = 2.57555374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4773789723645))-π/2
    2×atan(0.0839630068012494)-π/2
    2×0.0837665301143573-π/2
    0.167533060228715-1.57079632675     		φ = -1.40326327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57555374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.568359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40326327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.401063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3727 KachelY 3663 2.57555374 -1.40326327 147.568359 -80.401063
    Oben rechts KachelX + 1 3728 KachelY 3663 2.57708772 -1.40326327 147.656250 -80.401063
    Unten links KachelX 3727 KachelY + 1 3664 2.57555374 -1.40351887 147.568359 -80.415708
    Unten rechts KachelX + 1 3728 KachelY + 1 3664 2.57708772 -1.40351887 147.656250 -80.415708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40326327--1.40351887) × R
    0.000255600000000022 × 6371000     		dl = 1628.42760000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40326327--1.40351887) × R
    0.000255600000000022 × 6371000     		dr = 1628.42760000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57555374-2.57708772) × cos(-1.40326327) × R
    0.00153398000000005 × 0.166750455083917 × 6371000     		do = 1629.64995974406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57555374-2.57708772) × cos(-1.40351887) × R
    0.00153398000000005 × 0.166498428261839 × 6371000     		du = 1627.18690499409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40326327)-sin(-1.40351887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166750455083917-0.166498428261839)×R²
    abs(2.57708772-2.57555374)×0.000252026822078227×R²
    0.00153398000000005×0.000252026822078227×6371000²
    0.00153398000000005×0.000252026822078227×40589641000000     		ar = 2651761.53405357m²