Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3727 / 2224
↖ ↑ ↗
← N 63.233628°
W 16.215821°		 ← 2 200.68 m → N 63.233628°
W 16.171875°		 →
↑
2 201.44 m
↓
↑
2 201.44 m
↓
N 63.213830°
W 16.215821°		 ← 2 202.19 m →
4 846 311 m²		 N 63.213830°
W 16.171875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45501708984375 y=0.27154541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45501708984375 × 213)
    floor (0.45501708984375 × 8192)
    floor (3727.5)     		tx = 3727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27154541015625 × 213)
    floor (0.27154541015625 × 8192)
    floor (2224.5)     		ty = 2224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3727 / 2224 ti = "13/3727/2224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3727/2224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3727 ÷ 213
    3727 ÷ 8192     		x = 0.4549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2224 ÷ 213
    2224 ÷ 8192     		y = 0.271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4549560546875 × 2 - 1) × π
    -0.090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28301946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271484375 × 2 - 1) × π
    0.45703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43580601741992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28301946} λ = -0.28301946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43580601741992))-π/2
    2×atan(4.20303136036834)-π/2
    2×1.33721566155042-π/2
    2.67443132310084-1.57079632675     		φ = 1.10363500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28301946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.215821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10363500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.233628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3727 KachelY 2224 -0.28301946 1.10363500 -16.215821 63.233628
    Oben rechts KachelX + 1 3728 KachelY 2224 -0.28225246 1.10363500 -16.171875 63.233628
    Unten links KachelX 3727 KachelY + 1 2225 -0.28301946 1.10328946 -16.215821 63.213830
    Unten rechts KachelX + 1 3728 KachelY + 1 2225 -0.28225246 1.10328946 -16.171875 63.213830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10363500-1.10328946) × R
    0.000345539999999867 × 6371000     		dl = 2201.43533999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10363500-1.10328946) × R
    0.000345539999999867 × 6371000     		dr = 2201.43533999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28301946--0.28225246) × cos(1.10363500) × R
    0.000767000000000018 × 0.450353593075369 × 6371000     		do = 2200.67850271765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28301946--0.28225246) × cos(1.10328946) × R
    0.000767000000000018 × 0.450662081672966 × 6371000     		du = 2202.18594983366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10363500)-sin(1.10328946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450353593075369-0.450662081672966)×R²
    abs(-0.28225246--0.28301946)×0.000308488597597356×R²
    0.000767000000000018×0.000308488597597356×6371000²
    0.000767000000000018×0.000308488597597356×40589641000000     		ar = 4846310.74975589m²