Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37268 / 28148
↖ ↑ ↗
← N 24.587090°
E 24.719238°		 ← 555.41 m → N 24.587090°
E 24.724731°		 →
↑
555.42 m
↓
↑
555.42 m
↓
N 24.582095°
E 24.719238°		 ← 555.43 m →
308 493 m²		 N 24.582095°
E 24.724731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568672180175781 y=0.429512023925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568672180175781 × 216)
    floor (0.568672180175781 × 65536)
    floor (37268.5)     		tx = 37268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429512023925781 × 216)
    floor (0.429512023925781 × 65536)
    floor (28148.5)     		ty = 28148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37268 / 28148 ti = "16/37268/28148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37268/28148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37268 ÷ 216
    37268 ÷ 65536     		x = 0.56866455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28148 ÷ 216
    28148 ÷ 65536     		y = 0.42950439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56866455078125 × 2 - 1) × π
    0.1373291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43143210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42950439453125 × 2 - 1) × π
    0.1409912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.442936952489319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43143210} λ = 0.43143210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.442936952489319))-π/2
    2×atan(1.5572741489881)-π/2
    2×0.999961003343941-π/2
    1.99992200668788-1.57079632675     		φ = 0.42912568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43143210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.719238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42912568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.587090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37268 KachelY 28148 0.43143210 0.42912568 24.719238 24.587090
    Oben rechts KachelX + 1 37269 KachelY 28148 0.43152797 0.42912568 24.724731 24.587090
    Unten links KachelX 37268 KachelY + 1 28149 0.43143210 0.42903850 24.719238 24.582095
    Unten rechts KachelX + 1 37269 KachelY + 1 28149 0.43152797 0.42903850 24.724731 24.582095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42912568-0.42903850) × R
    8.718000000002e-05 × 6371000     		dl = 555.423780000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42912568-0.42903850) × R
    8.718000000002e-05 × 6371000     		dr = 555.423780000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43143210-0.43152797) × cos(0.42912568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.909329880685624 × 6371000     		do = 555.407570018326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43143210-0.43152797) × cos(0.42903850) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.909366150728344 × 6371000     		du = 555.429723316837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42912568)-sin(0.42903850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909329880685624-0.909366150728344)×R²
    abs(0.43152797-0.43143210)×3.62700427199991e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62700427199991e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62700427199991e-05×40589641000000     		ar = 308492.724409992m²