Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37268 / 27003
↖ ↑ ↗
← N 30.168876°
E 24.719238°		 ← 528.06 m → N 30.168876°
E 24.724731°		 →
↑
528.09 m
↓
↑
528.09 m
↓
N 30.164126°
E 24.719238°		 ← 528.08 m →
278 869 m²		 N 30.164126°
E 24.724731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568672180175781 y=0.412040710449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568672180175781 × 216)
    floor (0.568672180175781 × 65536)
    floor (37268.5)     		tx = 37268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412040710449219 × 216)
    floor (0.412040710449219 × 65536)
    floor (27003.5)     		ty = 27003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37268 / 27003 ti = "16/37268/27003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37268/27003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37268 ÷ 216
    37268 ÷ 65536     		x = 0.56866455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27003 ÷ 216
    27003 ÷ 65536     		y = 0.412033081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56866455078125 × 2 - 1) × π
    0.1373291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43143210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412033081054688 × 2 - 1) × π
    0.175933837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.552712452619247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43143210} λ = 0.43143210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.552712452619247))-π/2
    2×atan(1.73796076644161)-π/2
    2×1.04867126847405-π/2
    2.09734253694809-1.57079632675     		φ = 0.52654621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43143210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.719238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52654621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.168876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37268 KachelY 27003 0.43143210 0.52654621 24.719238 30.168876
    Oben rechts KachelX + 1 37269 KachelY 27003 0.43152797 0.52654621 24.724731 30.168876
    Unten links KachelX 37268 KachelY + 1 27004 0.43143210 0.52646332 24.719238 30.164126
    Unten rechts KachelX + 1 37269 KachelY + 1 27004 0.43152797 0.52646332 24.724731 30.164126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52654621-0.52646332) × R
    8.28900000000576e-05 × 6371000     		dl = 528.092190000367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52654621-0.52646332) × R
    8.28900000000576e-05 × 6371000     		dr = 528.092190000367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43143210-0.43152797) × cos(0.52654621) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.864547926978736 × 6371000     		do = 528.055300377453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43143210-0.43152797) × cos(0.52646332) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.864589580409435 × 6371000     		du = 528.080741783503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52654621)-sin(0.52646332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864547926978736-0.864589580409435)×R²
    abs(0.43152797-0.43143210)×4.16534306986183e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.16534306986183e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.16534306986183e-05×40589641000000     		ar = 278868.597881308m²