Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37268 / 26989
↖ ↑ ↗
← N 30.235340°
E 24.719238°		 ← 527.70 m → N 30.235340°
E 24.724731°		 →
↑
527.71 m
↓
↑
527.71 m
↓
N 30.230595°
E 24.719238°		 ← 527.72 m →
278 479 m²		 N 30.230595°
E 24.724731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568672180175781 y=0.411827087402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568672180175781 × 216)
    floor (0.568672180175781 × 65536)
    floor (37268.5)     		tx = 37268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411827087402344 × 216)
    floor (0.411827087402344 × 65536)
    floor (26989.5)     		ty = 26989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37268 / 26989 ti = "16/37268/26989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37268/26989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37268 ÷ 216
    37268 ÷ 65536     		x = 0.56866455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26989 ÷ 216
    26989 ÷ 65536     		y = 0.411819458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56866455078125 × 2 - 1) × π
    0.1373291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43143210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411819458007812 × 2 - 1) × π
    0.176361083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.554054685808609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43143210} λ = 0.43143210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.554054685808609))-π/2
    2×atan(1.74029508131112)-π/2
    2×1.04925128516037-π/2
    2.09850257032075-1.57079632675     		φ = 0.52770624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43143210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.719238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52770624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.235340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37268 KachelY 26989 0.43143210 0.52770624 24.719238 30.235340
    Oben rechts KachelX + 1 37269 KachelY 26989 0.43152797 0.52770624 24.724731 30.235340
    Unten links KachelX 37268 KachelY + 1 26990 0.43143210 0.52762341 24.719238 30.230595
    Unten rechts KachelX + 1 37269 KachelY + 1 26990 0.43152797 0.52762341 24.724731 30.230595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52770624-0.52762341) × R
    8.28299999999782e-05 × 6371000     		dl = 527.709929999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52770624-0.52762341) × R
    8.28299999999782e-05 × 6371000     		dr = 527.709929999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43143210-0.43152797) × cos(0.52770624) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.86396437189717 × 6371000     		do = 527.698872070512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43143210-0.43152797) × cos(0.52762341) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.864006078223454 × 6371000     		du = 527.724345784537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52770624)-sin(0.52762341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86396437189717-0.864006078223454)×R²
    abs(0.43152797-0.43143210)×4.17063262836415e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.17063262836415e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.17063262836415e-05×40589641000000     		ar = 278478.656366466m²