Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37266 / 26768
↖ ↑ ↗
← N 31.278551°
E 24.708252°		 ← 522.01 m → N 31.278551°
E 24.713745°		 →
↑
522.04 m
↓
↑
522.04 m
↓
N 31.273856°
E 24.708252°		 ← 522.04 m →
272 518 m²		 N 31.273856°
E 24.713745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568641662597656 y=0.408454895019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568641662597656 × 216)
    floor (0.568641662597656 × 65536)
    floor (37266.5)     		tx = 37266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408454895019531 × 216)
    floor (0.408454895019531 × 65536)
    floor (26768.5)     		ty = 26768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37266 / 26768 ti = "16/37266/26768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37266/26768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37266 ÷ 216
    37266 ÷ 65536     		x = 0.568634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26768 ÷ 216
    26768 ÷ 65536     		y = 0.408447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568634033203125 × 2 - 1) × π
    0.13726806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43124035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408447265625 × 2 - 1) × π
    0.18310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.575242795440674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43124035} λ = 0.43124035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.575242795440674))-π/2
    2×atan(1.77756205848828)-π/2
    2×1.05835501226098-π/2
    2.11671002452196-1.57079632675     		φ = 0.54591370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43124035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.708252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54591370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.278551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37266 KachelY 26768 0.43124035 0.54591370 24.708252 31.278551
    Oben rechts KachelX + 1 37267 KachelY 26768 0.43133622 0.54591370 24.713745 31.278551
    Unten links KachelX 37266 KachelY + 1 26769 0.43124035 0.54583176 24.708252 31.273856
    Unten rechts KachelX + 1 37267 KachelY + 1 26769 0.43133622 0.54583176 24.713745 31.273856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54591370-0.54583176) × R
    8.19399999999471e-05 × 6371000     		dl = 522.039739999663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54591370-0.54583176) × R
    8.19399999999471e-05 × 6371000     		dr = 522.039739999663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43124035-0.43133622) × cos(0.54591370) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.854653255286648 × 6371000     		do = 522.011755919761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43124035-0.43133622) × cos(0.54583176) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.854695795600219 × 6371000     		du = 522.037739023022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54591370)-sin(0.54583176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854653255286648-0.854695795600219)×R²
    abs(0.43133622-0.43124035)×4.25403135708713e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.25403135708713e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.25403135708713e-05×40589641000000     		ar = 272517.663596062m²