Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37265 / 38641
↖ ↑ ↗
← S 30.680440°
E 24.702759°		 ← 525.29 m → S 30.680440°
E 24.708252°		 →
↑
525.29 m
↓
↑
525.29 m
↓
S 30.685164°
E 24.702759°		 ← 525.27 m →
275 924 m²		 S 30.685164°
E 24.708252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568626403808594 y=0.589622497558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568626403808594 × 216)
    floor (0.568626403808594 × 65536)
    floor (37265.5)     		tx = 37265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589622497558594 × 216)
    floor (0.589622497558594 × 65536)
    floor (38641.5)     		ty = 38641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37265 / 38641 ti = "16/37265/38641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37265/38641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37265 ÷ 216
    37265 ÷ 65536     		x = 0.568618774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38641 ÷ 216
    38641 ÷ 65536     		y = 0.589614868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568618774414062 × 2 - 1) × π
    0.137237548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43114448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589614868164062 × 2 - 1) × π
    -0.179229736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.56306682293718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43114448} λ = 0.43114448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.56306682293718))-π/2
    2×atan(0.569459950271624)-π/2
    2×0.517660818287501-π/2
    1.035321636575-1.57079632675     		φ = -0.53547469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43114448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.702759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53547469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.680440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37265 KachelY 38641 0.43114448 -0.53547469 24.702759 -30.680440
    Oben rechts KachelX + 1 37266 KachelY 38641 0.43124035 -0.53547469 24.708252 -30.680440
    Unten links KachelX 37265 KachelY + 1 38642 0.43114448 -0.53555714 24.702759 -30.685164
    Unten rechts KachelX + 1 37266 KachelY + 1 38642 0.43124035 -0.53555714 24.708252 -30.685164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53547469--0.53555714) × R
    8.24499999999562e-05 × 6371000     		dl = 525.288949999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53547469--0.53555714) × R
    8.24499999999562e-05 × 6371000     		dr = 525.288949999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43114448-0.43124035) × cos(-0.53547469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.860026515918418 × 6371000     		do = 525.293677798669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43114448-0.43124035) × cos(-0.53555714) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859984442936914 × 6371000     		du = 525.267980136118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53547469)-sin(-0.53555714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860026515918418-0.859984442936914)×R²
    abs(0.43124035-0.43114448)×4.20729815046039e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.20729815046039e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.20729815046039e-05×40589641000000     		ar = 275924.215259506m²