Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37265 / 26801
↖ ↑ ↗
← N 31.123497°
E 24.702759°		 ← 522.87 m → N 31.123497°
E 24.708252°		 →
↑
522.93 m
↓
↑
522.93 m
↓
N 31.118794°
E 24.702759°		 ← 522.89 m →
273 431 m²		 N 31.118794°
E 24.708252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568626403808594 y=0.408958435058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568626403808594 × 216)
    floor (0.568626403808594 × 65536)
    floor (37265.5)     		tx = 37265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408958435058594 × 216)
    floor (0.408958435058594 × 65536)
    floor (26801.5)     		ty = 26801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37265 / 26801 ti = "16/37265/26801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37265/26801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37265 ÷ 216
    37265 ÷ 65536     		x = 0.568618774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26801 ÷ 216
    26801 ÷ 65536     		y = 0.408950805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568618774414062 × 2 - 1) × π
    0.137237548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43114448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408950805664062 × 2 - 1) × π
    0.182098388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.57207896006575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43114448} λ = 0.43114448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.57207896006575))-π/2
    2×atan(1.7719470319601)-π/2
    2×1.05700191176917-π/2
    2.11400382353833-1.57079632675     		φ = 0.54320750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43114448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.702759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54320750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.123497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37265 KachelY 26801 0.43114448 0.54320750 24.702759 31.123497
    Oben rechts KachelX + 1 37266 KachelY 26801 0.43124035 0.54320750 24.708252 31.123497
    Unten links KachelX 37265 KachelY + 1 26802 0.43114448 0.54312542 24.702759 31.118794
    Unten rechts KachelX + 1 37266 KachelY + 1 26802 0.43124035 0.54312542 24.708252 31.118794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54320750-0.54312542) × R
    8.20799999999844e-05 × 6371000     		dl = 522.931679999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54320750-0.54312542) × R
    8.20799999999844e-05 × 6371000     		dr = 522.931679999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43114448-0.43124035) × cos(0.54320750) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.856055180924455 × 6371000     		do = 522.868034953783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43114448-0.43124035) × cos(0.54312542) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.856097603915797 × 6371000     		du = 522.893946398061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54320750)-sin(0.54312542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856055180924455-0.856097603915797)×R²
    abs(0.43124035-0.43114448)×4.24229913416063e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.24229913416063e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.24229913416063e-05×40589641000000     		ar = 273431.035047699m²