Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37264 / 31184
↖ ↑ ↗
← N  8.667918°
E 24.697266°		 ← 603.87 m → N  8.667918°
E 24.702759°		 →
↑
603.84 m
↓
↑
603.84 m
↓
N  8.662488°
E 24.697266°		 ← 603.88 m →
364 648 m²		 N  8.662488°
E 24.702759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568611145019531 y=0.475837707519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568611145019531 × 216)
    floor (0.568611145019531 × 65536)
    floor (37264.5)     		tx = 37264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.475837707519531 × 216)
    floor (0.475837707519531 × 65536)
    floor (31184.5)     		ty = 31184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37264 / 31184 ti = "16/37264/31184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37264/31184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37264 ÷ 216
    37264 ÷ 65536     		x = 0.568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31184 ÷ 216
    31184 ÷ 65536     		y = 0.475830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568603515625 × 2 - 1) × π
    0.13720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43104860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.475830078125 × 2 - 1) × π
    0.04833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.151864097996338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43104860} λ = 0.43104860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.151864097996338))-π/2
    2×atan(1.16400203547355)-π/2
    2×0.861040017612366-π/2
    1.72208003522473-1.57079632675     		φ = 0.15128371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43104860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.697266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.15128371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.667918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37264 KachelY 31184 0.43104860 0.15128371 24.697266 8.667918
    Oben rechts KachelX + 1 37265 KachelY 31184 0.43114448 0.15128371 24.702759 8.667918
    Unten links KachelX 37264 KachelY + 1 31185 0.43104860 0.15118893 24.697266 8.662488
    Unten rechts KachelX + 1 37265 KachelY + 1 31185 0.43114448 0.15118893 24.702759 8.662488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.15128371-0.15118893) × R
    9.47799999999888e-05 × 6371000     		dl = 603.843379999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.15128371-0.15118893) × R
    9.47799999999888e-05 × 6371000     		dr = 603.843379999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43104860-0.43114448) × cos(0.15128371) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.988578428060257 × 6371000     		do = 603.874595876635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43104860-0.43114448) × cos(0.15118893) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.988592707658215 × 6371000     		du = 603.883318590182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.15128371)-sin(0.15118893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988578428060257-0.988592707658215)×R²
    abs(0.43114448-0.43104860)×1.4279597958744e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.4279597958744e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.4279597958744e-05×40589641000000     		ar = 364648.310919644m²