Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37264 / 28016
↖ ↑ ↗
← N 71.201920°
W 77.651367°		 ← 98.42 m → N 71.201920°
W 77.648621°		 →
↑
98.37 m
↓
↑
98.37 m
↓
N 71.201035°
W 77.651367°		 ← 98.42 m →
9 681 m²		 N 71.201035°
W 77.648621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.284305572509766 y=0.213748931884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.284305572509766 × 217)
    floor (0.284305572509766 × 131072)
    floor (37264.5)     		tx = 37264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213748931884766 × 217)
    floor (0.213748931884766 × 131072)
    floor (28016.5)     		ty = 28016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37264 / 28016 ti = "17/37264/28016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37264/28016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37264 ÷ 217
    37264 ÷ 131072     		x = 0.2843017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28016 ÷ 217
    28016 ÷ 131072     		y = 0.2137451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2843017578125 × 2 - 1) × π
    -0.431396484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.35527203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2137451171875 × 2 - 1) × π
    0.572509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79859247374451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.35527203} λ = -1.35527203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79859247374451))-π/2
    2×atan(6.04113841652925)-π/2
    2×1.40675212992935-π/2
    2.8135042598587-1.57079632675     		φ = 1.24270793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.35527203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.651367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24270793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.201920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37264 KachelY 28016 -1.35527203 1.24270793 -77.651367 71.201920
    Oben rechts KachelX + 1 37265 KachelY 28016 -1.35522409 1.24270793 -77.648621 71.201920
    Unten links KachelX 37264 KachelY + 1 28017 -1.35527203 1.24269249 -77.651367 71.201035
    Unten rechts KachelX + 1 37265 KachelY + 1 28017 -1.35522409 1.24269249 -77.648621 71.201035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24270793-1.24269249) × R
    1.54399999998667e-05 × 6371000     		dl = 98.3682399991506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24270793-1.24269249) × R
    1.54399999998667e-05 × 6371000     		dr = 98.3682399991506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.35527203--1.35522409) × cos(1.24270793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322233979857054 × 6371000     		do = 98.4185517509212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.35527203--1.35522409) × cos(1.24269249) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322248596249913 × 6371000     		du = 98.4230159735264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24270793)-sin(1.24269249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322233979857054-0.322248596249913)×R²
    abs(-1.35522409--1.35527203)×1.46163928595455e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46163928595455e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46163928595455e-05×40589641000000     		ar = 9681.47928806474m²