Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37264 / 26769
↖ ↑ ↗
← N 31.273856°
E 24.697266°		 ← 522.09 m → N 31.273856°
E 24.702759°		 →
↑
522.10 m
↓
↑
522.10 m
↓
N 31.269161°
E 24.697266°		 ← 522.12 m →
272 593 m²		 N 31.269161°
E 24.702759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568611145019531 y=0.408470153808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568611145019531 × 216)
    floor (0.568611145019531 × 65536)
    floor (37264.5)     		tx = 37264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408470153808594 × 216)
    floor (0.408470153808594 × 65536)
    floor (26769.5)     		ty = 26769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37264 / 26769 ti = "16/37264/26769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37264/26769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37264 ÷ 216
    37264 ÷ 65536     		x = 0.568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26769 ÷ 216
    26769 ÷ 65536     		y = 0.408462524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568603515625 × 2 - 1) × π
    0.13720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43104860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408462524414062 × 2 - 1) × π
    0.183074951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.575146921641434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43104860} λ = 0.43104860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.575146921641434))-π/2
    2×atan(1.77739164502958)-π/2
    2×1.05831404181396-π/2
    2.11662808362793-1.57079632675     		φ = 0.54583176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43104860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.697266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54583176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.273856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37264 KachelY 26769 0.43104860 0.54583176 24.697266 31.273856
    Oben rechts KachelX + 1 37265 KachelY 26769 0.43114448 0.54583176 24.702759 31.273856
    Unten links KachelX 37264 KachelY + 1 26770 0.43104860 0.54574981 24.697266 31.269161
    Unten rechts KachelX + 1 37265 KachelY + 1 26770 0.43114448 0.54574981 24.702759 31.269161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54583176-0.54574981) × R
    8.19499999999973e-05 × 6371000     		dl = 522.103449999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54583176-0.54574981) × R
    8.19499999999973e-05 × 6371000     		dr = 522.103449999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43104860-0.43114448) × cos(0.54583176) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.854695795600219 × 6371000     		do = 522.092191692131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43104860-0.43114448) × cos(0.54574981) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.854738335365814 × 6371000     		du = 522.118177170904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54583176)-sin(0.54574981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854695795600219-0.854738335365814)×R²
    abs(0.43114448-0.43104860)×4.25397655949844e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.25397655949844e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.25397655949844e-05×40589641000000     		ar = 272592.918206952m²