Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37263 / 39325
↖ ↑ ↗
← S 33.856732°
E 24.691773°		 ← 507.22 m → S 33.856732°
E 24.697266°		 →
↑
507.20 m
↓
↑
507.20 m
↓
S 33.861293°
E 24.691773°		 ← 507.19 m →
257 252 m²		 S 33.861293°
E 24.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568595886230469 y=0.600059509277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568595886230469 × 216)
    floor (0.568595886230469 × 65536)
    floor (37263.5)     		tx = 37263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600059509277344 × 216)
    floor (0.600059509277344 × 65536)
    floor (39325.5)     		ty = 39325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37263 / 39325 ti = "16/37263/39325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37263/39325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37263 ÷ 216
    37263 ÷ 65536     		x = 0.568588256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39325 ÷ 216
    39325 ÷ 65536     		y = 0.600051879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568588256835938 × 2 - 1) × π
    0.137176513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43095273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600051879882812 × 2 - 1) × π
    -0.200103759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.628644501617416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43095273} λ = 0.43095273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.628644501617416))-π/2
    2×atan(0.53331421783855)-π/2
    2×0.489942443829977-π/2
    0.979884887659954-1.57079632675     		φ = -0.59091144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43095273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.691773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59091144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.856732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37263 KachelY 39325 0.43095273 -0.59091144 24.691773 -33.856732
    Oben rechts KachelX + 1 37264 KachelY 39325 0.43104860 -0.59091144 24.697266 -33.856732
    Unten links KachelX 37263 KachelY + 1 39326 0.43095273 -0.59099105 24.691773 -33.861293
    Unten rechts KachelX + 1 37264 KachelY + 1 39326 0.43104860 -0.59099105 24.697266 -33.861293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59091144--0.59099105) × R
    7.96100000000077e-05 × 6371000     		dl = 507.195310000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59091144--0.59099105) × R
    7.96100000000077e-05 × 6371000     		dr = 507.195310000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43095273-0.43104860) × cos(-0.59091144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.830433244338958 × 6371000     		do = 507.218469443646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43095273-0.43104860) × cos(-0.59099105) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.830388889531998 × 6371000     		du = 507.191378070014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59091144)-sin(-0.59099105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830433244338958-0.830388889531998)×R²
    abs(0.43104860-0.43095273)×4.43548069600785e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43548069600785e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43548069600785e-05×40589641000000     		ar = 257251.958674229m²