Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37263 / 38926
↖ ↑ ↗
← S 32.017392°
E 24.691773°		 ← 517.88 m → S 32.017392°
E 24.697266°		 →
↑
517.90 m
↓
↑
517.90 m
↓
S 32.022049°
E 24.691773°		 ← 517.85 m →
268 202 m²		 S 32.022049°
E 24.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568595886230469 y=0.593971252441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568595886230469 × 216)
    floor (0.568595886230469 × 65536)
    floor (37263.5)     		tx = 37263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593971252441406 × 216)
    floor (0.593971252441406 × 65536)
    floor (38926.5)     		ty = 38926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37263 / 38926 ti = "16/37263/38926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37263/38926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37263 ÷ 216
    37263 ÷ 65536     		x = 0.568588256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38926 ÷ 216
    38926 ÷ 65536     		y = 0.593963623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568588256835938 × 2 - 1) × π
    0.137176513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43095273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593963623046875 × 2 - 1) × π
    -0.18792724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.590390855720612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43095273} λ = 0.43095273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.590390855720612))-π/2
    2×atan(0.554110665080451)-π/2
    2×0.505993712746125-π/2
    1.01198742549225-1.57079632675     		φ = -0.55880890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43095273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.691773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55880890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.017392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37263 KachelY 38926 0.43095273 -0.55880890 24.691773 -32.017392
    Oben rechts KachelX + 1 37264 KachelY 38926 0.43104860 -0.55880890 24.697266 -32.017392
    Unten links KachelX 37263 KachelY + 1 38927 0.43095273 -0.55889019 24.691773 -32.022049
    Unten rechts KachelX + 1 37264 KachelY + 1 38927 0.43104860 -0.55889019 24.697266 -32.022049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55880890--0.55889019) × R
    8.12899999999006e-05 × 6371000     		dl = 517.898589999367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55880890--0.55889019) × R
    8.12899999999006e-05 × 6371000     		dr = 517.898589999367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43095273-0.43104860) × cos(-0.55880890) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.847887205735677 × 6371000     		do = 517.879135602814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43095273-0.43104860) × cos(-0.55889019) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.847844104873928 × 6371000     		du = 517.852810123582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55880890)-sin(-0.55889019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847887205735677-0.847844104873928)×R²
    abs(0.43104860-0.43095273)×4.3100861748524e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3100861748524e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3100861748524e-05×40589641000000     		ar = 268202.057302268m²