Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37262 / 38842
↖ ↑ ↗
← S 31.625321°
E 24.686279°		 ← 520.14 m → S 31.625321°
E 24.691773°		 →
↑
520.13 m
↓
↑
520.13 m
↓
S 31.629999°
E 24.686279°		 ← 520.11 m →
270 531 m²		 S 31.629999°
E 24.691773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568580627441406 y=0.592689514160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568580627441406 × 216)
    floor (0.568580627441406 × 65536)
    floor (37262.5)     		tx = 37262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592689514160156 × 216)
    floor (0.592689514160156 × 65536)
    floor (38842.5)     		ty = 38842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37262 / 38842 ti = "16/37262/38842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37262/38842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37262 ÷ 216
    37262 ÷ 65536     		x = 0.568572998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38842 ÷ 216
    38842 ÷ 65536     		y = 0.592681884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568572998046875 × 2 - 1) × π
    0.13714599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43085685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592681884765625 × 2 - 1) × π
    -0.18536376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.582337456584442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43085685} λ = 0.43085685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.582337456584442))-π/2
    2×atan(0.558591156810064)-π/2
    2×0.509415172318095-π/2
    1.01883034463619-1.57079632675     		φ = -0.55196598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43085685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.686279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55196598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.625321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37262 KachelY 38842 0.43085685 -0.55196598 24.686279 -31.625321
    Oben rechts KachelX + 1 37263 KachelY 38842 0.43095273 -0.55196598 24.691773 -31.625321
    Unten links KachelX 37262 KachelY + 1 38843 0.43085685 -0.55204762 24.686279 -31.629999
    Unten rechts KachelX + 1 37263 KachelY + 1 38843 0.43095273 -0.55204762 24.691773 -31.629999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55196598--0.55204762) × R
    8.16399999999939e-05 × 6371000     		dl = 520.128439999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55196598--0.55204762) × R
    8.16399999999939e-05 × 6371000     		dr = 520.128439999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43085685-0.43095273) × cos(-0.55196598) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.851495282547043 × 6371000     		do = 520.137153556839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43085685-0.43095273) × cos(-0.55204762) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.851452470774219 × 6371000     		du = 520.111001922049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55196598)-sin(-0.55204762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851495282547043-0.851452470774219)×R²
    abs(0.43095273-0.43085685)×4.28117728232813e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.28117728232813e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.28117728232813e-05×40589641000000     		ar = 270531.325311641m²